ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 902 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.

Пусть первое число \(n\), второе число \(n + 1\), третье число \(n + 2\).
Докажем, что сумма кубов данных чисел делится на 3:

\[
n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 = \]

\[=\frac{n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + n^3 + 6n^2 + 6n + 8}{3}
\]

\[
= \frac{3n^3 + 9n^2 + 9n + 9}{3} = \frac{3 \cdot (n^3 + 3n^2 + 3n + 3)}{3}
\]

\[
= n^3 + 3n^2 + 3n + 3
\]

Задача: Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.

Ответ:

Предположим, что у нас есть три последовательных натуральных числа, которые обозначим как \( n \), \( n+1 \) и \( n+2 \). Необходимо доказать, что сумма их кубов делится на 3.

Итак, рассмотрим сумму кубов этих трёх чисел:

\[
S = n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3
\]

Теперь раскроем кубы в этом выражении:

\[
S = n^3 + \left( n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \right) + \left( n^3 + 6n^2 + 6n + 8 \right)
\]

Сложим все эти выражения:

\[
S = n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + n^3 + 6n^2 + 6n + 8
\]

Теперь упростим выражение, объединив одинаковые степени \( n \):

\[
S = 3n^3 + 9n^2 + 9n + 9
\]

Теперь вынесем общий множитель 3 из всех членов:

\[
S = 3(n^3 + 3n^2 + 3n + 3)
\]

Заметьте, что \( S \) теперь представлено как произведение 3 и некоторого выражения \( (n^3 + 3n^2 + 3n + 3) \). Поскольку это выражение умножается на 3, то оно однозначно делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что сумма кубов трёх последовательных чисел делится на 3, так как всегда можно вынести множитель 3 из этого выражения, что делает его делимым на 3.

Ответ: Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 3.