ГДЗ по Алгебре 7 Класс Ответы На Вопросы Параграф 10 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Как умножить одночлен на многочлен?

Для умножения одночлена на многочлен необходимо перемножить этот одночлен с каждым членом многочлена, а затем сложить все полученные произведения.

Вопрос: Как умножить одночлен на многочлен?

Решение:

Пусть у нас есть одночлен \( A \) и многочлен \( P \), представленный как сумма одночленов:

\( A = a \cdot x^m y^n, \quad P = B_1 + B_2 + \dots + B_k \),

где \( B_i \) — одночлены многочлена, \( a \) — числовой коэффициент одночлена \( A \), а \( x, y \) — переменные с целыми неотрицательными степенями \( m, n \).

Шаг 1. Перемножаем одночлен с каждым членом многочлена:

\( A \cdot P = A \cdot B_1 + A \cdot B_2 + \dots + A \cdot B_k \)

Шаг 2. Для каждого произведения \( A \cdot B_i \) перемножаем числовые коэффициенты и складываем показатели степеней одинаковых переменных.
Если \( B_i = b_i \cdot x^{p_i} y^{q_i} \), то:

\( A \cdot B_i = (a \cdot b_i) \cdot x^{m+p_i} y^{n+q_i} \)

Шаг 3. Повторяем это для всех членов многочлена \( B_1, B_2, \dots, B_k \).
В итоге получаем сумму новых одночленов:

\( A \cdot P = (a \cdot b_1) \cdot x^{m+p_1} y^{n+q_1} + (a \cdot b_2) \cdot x^{m+p_2} y^{n+q_2} + \dots +\)

\(+ (a \cdot b_k) \cdot x^{m+p_k} y^{n+q_k} \)

Пример: умножим одночлен \( 3x^2 \) на многочлен \( x^3 + 2x — 5 \):

\( 3x^2 \cdot (x^3 + 2x — 5) = 3x^2 \cdot x^3 + 3x^2 \cdot 2x + 3x^2 \cdot (-5) \)

\( = 3x^{2+3} + 6x^{2+1} — 15x^2 = 3x^5 + 6x^3 — 15x^2 \)

Таким образом, умножение одночлена на многочлен сводится к последовательному умножению одночлена на каждый член многочлена с последующим сложением полученных одночленов.