ГДЗ по Алгебре 7 Класс Ответы На Вопросы Параграф 11 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Как умножить многочлен на многочлен?

Для умножения одного многочлена на другой необходимо перемножить каждый член первого многочлена с каждым членом второго, а затем сложить все полученные произведения.

Вопрос: Как умножить многочлен на многочлен?

Решение:

Пусть у нас есть два многочлена \( P \) и \( Q \), представленные как суммы одночленов:

\( P = A_1 + A_2 + \dots + A_m, \quad Q = B_1 + B_2 + \dots + B_n \),

где \( A_i \) и \( B_j \) — одночлены, \( i = 1, 2, \dots, m \), \( j = 1, 2, \dots, n \).

Шаг 1. Каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго многочлена:

\( P \cdot Q = (A_1 + A_2 + \dots + A_m) \cdot (B_1 + B_2 + \dots + B_n) \)

\( = A_1 \cdot B_1 + A_1 \cdot B_2 + \dots + A_1 \cdot B_n \)

\( + A_2 \cdot B_1 + A_2 \cdot B_2 + \dots + A_2 \cdot B_n \)

\( \dots \)

\( + A_m \cdot B_1 + A_m \cdot B_2 + \dots + A_m \cdot B_n \)

Шаг 2. Для каждого произведения одночленов \( A_i \cdot B_j \) перемножаем числовые коэффициенты и складываем показатели степеней одинаковых переменных.
Если \( A_i = a_i \cdot x^{p_i} y^{q_i} \), а \( B_j = b_j \cdot x^{r_j} y^{s_j} \), то:

\( A_i \cdot B_j = (a_i \cdot b_j) \cdot x^{p_i + r_j} y^{q_i + s_j} \)

Шаг 3. После выполнения всех произведений складываем полученные одночлены, объединяя подобные, если они есть, чтобы получить итоговый многочлен.

Пример: умножим многочлены \( P = x + 2 \) и \( Q = x^2 — 3x + 4 \):

\( (x + 2) \cdot (x^2 — 3x + 4) =\)

\( = x \cdot x^2 + x \cdot (-3x) + x \cdot 4 + 2 \cdot x^2 + 2 \cdot (-3x) + 2 \cdot 4 \)

\( = x^3 — 3x^2 + 4x + 2x^2 — 6x + 8 \)

\( = x^3 + (-3x^2 + 2x^2) + (4x — 6x) + 8 \)

\( = x^3 — x^2 — 2x + 8 \)

Итог: умножение многочлена на многочлен сводится к последовательному перемножению каждого одночлена одного многочлена на каждый одночлен другого с последующим сложением всех полученных одночленов.