ГДЗ по Алгебре 7 Класс Ответы На Вопросы Параграф 24 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Что называют решением уравнения с двумя переменными?

2. Что означает решить уравнение с двумя переменными?

3. Сформулируйте свойства уравнений с двумя переменными.

4. Что называют графиком уравнения с двумя переменными?

5. Может ли график уравнения с двумя переменными состоять только из одной точки?

6. Какая фигура является графиком уравнения у = kx + b?

1) Пару значений переменных, которая превращает уравнение в истинное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

2) Найти все решения уравнения с двумя переменными или доказать, что их нет, значит решить это уравнение.

3) Основные свойства уравнений с двумя переменными:

• если к обеим сторонам уравнения добавить (или вычесть) одно и то же число, получится уравнение с теми же решениями;
• если перенести какое-либо слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв знак на противоположный, решения уравнения останутся теми же;
• если обе стороны уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, не равное нулю, решения уравнения не изменятся.

4) Геометрическую фигуру, состоящую из всех и только тех точек координатной плоскости, чьи координаты (пары чисел) являются решениями данного уравнения, называют графиком уравнения с двумя переменными.

5) График уравнения с двумя переменными может представлять собой только одну точку.

6) Графиком уравнения \(y = kx + b\) является прямая линия.

1) Что называют решением уравнения с двумя переменными?

Решением уравнения с двумя переменными называется пара чисел \((x, y)\), которая при подстановке в уравнение превращает его в верное равенство.
Например, если дано уравнение \(2x + 3y = 6\), то пара \((x, y) = (0, 2)\) является решением, так как подстановка даёт \(2\cdot 0 + 3\cdot 2 = 6\), что верно.
Любая другая пара чисел, которая также удовлетворяет этому уравнению, будет также решением. Таким образом, решение — это не одно число, а именно пара значений переменных, которые делают уравнение истинным.

2) Что означает решить уравнение с двумя переменными?

Решить уравнение с двумя переменными значит найти все пары чисел \((x, y)\), которые удовлетворяют уравнению, или показать, что таких пар не существует.
Процесс решения включает:

1. Проверку, существуют ли решения;
2. Выражение одной переменной через другую (если уравнение линейное, это делается через стандартное преобразование);
3. Переписывание уравнения в виде \(y = f(x)\) или \(x = g(y)\), чтобы наглядно показать зависимость переменных;
4. Уточнение, какие значения переменных удовлетворяют исходному уравнению.

Например, для \(x + y = 5\) решение — все пары \((x, y)\), где \(y = 5 — x\). Каждое \(x\) даёт своё \(y\), и наоборот.

3) Сформулируйте свойства уравнений с двумя переменными.

Уравнения с двумя переменными обладают следующими свойствами:

• Если к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число, решения не изменятся.
• Если перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив знак на противоположный, решения не изменятся.
• Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, решения не изменятся.

Эти свойства позволяют преобразовывать уравнение для удобства решения без изменения множества решений.

4) Что называют графиком уравнения с двумя переменными?

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру на координатной плоскости, состоящую из всех точек \((x, y)\), которые являются решениями уравнения.
То есть, если взять каждое решение уравнения и отметить его на плоскости, все такие точки вместе образуют график.
Например, для \(y = 2x + 1\) графиком будет прямая, проходящая через все точки, где \(y\) определяется по формуле \(y = 2x + 1\).

5) Может ли график уравнения с двумя переменными состоять только из одной точки?

Да, график уравнения с двумя переменными может состоять только из одной точки, если уравнение имеет единственное решение.
Например, уравнение \(x = 2, y = 3\) имеет только одну пару \((2, 3)\), и на координатной плоскости график — это именно одна точка.
В большинстве случаев линейные уравнения дают прямые, а нелинейные уравнения могут давать кривые, но иногда условия могут ограничить график одной точкой.

6) Какая фигура является графиком уравнения \(y = kx + b\)?

Графиком уравнения \(y = kx + b\) является прямая линия.
Обоснование:

1. Любое линейное уравнение с двумя переменными можно записать в форме \(y = kx + b\).
2. Для любых двух значений \(x_1\) и \(x_2\) соответствующие значения \(y_1 = kx_1 + b\) и \(y_2 = kx_2 + b\) лежат на одной прямой.
3. Это следует из того, что при изменении \(x\) на \(\Delta x\) изменение \(y\) равно \(k \cdot \Delta x\), то есть отношение изменения \(y\) к изменению \(x\) постоянно и равно \(k\) — это и есть наклон прямой.
4. Таким образом, все точки \((x, y)\), удовлетворяющие \(y = kx + b\), формируют прямую линию на координатной плоскости.