ГДЗ по Алгебре 7 Класс Ответы На Вопросы Параграф 4 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Какие выражения называют тождественно равными?

2. Что называют тождеством?

3. Что называют тождественным преобразованием выражения?

4. Какие тождественные преобразования выражений вы знаете?

5. Какие приёмы используют для доказательства тождеств?

1) Тождественно равные выражения — это такие выражения, которые принимают одинаковые значения при любых допустимых значениях их переменных.

2) Тождество — это равенство, которое остаётся верным для всех возможных значений входящих в него переменных.

3) Тождественное преобразование выражения заключается в замене одного выражения другим, которое с ним тождественно равносильно.

4) Основные виды тождественных преобразований выражений:

• раскрытие скобок;
• сведение подобных членов;
• упрощение выражений.

5) Для доказательства тождеств применяются следующие методы:

• тождественное преобразование одной части равенства до получения другой части;
• тождественное преобразование каждой части равенства до получения одинакового выражения;
• проверка, что разность левой и правой частей равенства тождественно равна нулю.

1) Какие выражения называют тождественно равными?

Выражения называют тождественно равными, если при любых допустимых значениях их переменных они принимают одинаковые значения. Это означает, что для каждого значения переменной \(x\) выполняется равенство:

\(f(x) = g(x)\)

Пример:

\((x + 2)(x — 3)\) и \(x^2 — x — 6\) — тождественно равные выражения, так как при раскрытии скобок левое выражение преобразуется в правое для любого значения \(x\).

2) Что называют тождеством?

Тождество — это равенство, которое остаётся верным для всех возможных значений переменных, входящих в него. То есть, если имеем равенство вида:

\(A(x) = B(x)\)

и оно выполняется при любом значении \(x\), такое равенство является тождеством. Пример:

\((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\) — это тождество, потому что раскрытие скобок всегда даёт одинаковый результат независимо от \(x\).

3) Что называют тождественным преобразованием выражения?

Тождественным преобразованием выражения называют замену одного выражения другим, которое тождественно равно исходному. То есть, преобразование не изменяет значения выражения для любых значений переменных. Пример:

Исходное выражение: \((x + 3)(x — 2)\)

Тождественное преобразование: \(x^2 + x — 6\), потому что это раскрытие скобок даёт тождественно равное выражение.

4) Какие тождественные преобразования выражений вы знаете?

Основные виды тождественных преобразований выражений:

• раскрытие скобок: \((x + a)(x + b) \Rightarrow x^2 + (a+b)x + ab\);
• сведение подобных членов: \(x + 2x — 5 + 3 \Rightarrow 3x — 2\);
• упрощение выражений: \(\frac{2x}{4} \Rightarrow \frac{x}{2}\);
• разложение на множители: \(x^2 — 9 \Rightarrow (x — 3)(x + 3)\);
• преобразование дробей и рациональных выражений: \(\frac{x^2 — 1}{x — 1} \Rightarrow x + 1\), при \(x \neq 1\).

5) Какие приёмы используют для доказательства тождеств?

Для доказательства тождеств применяются следующие приёмы:

• тождественное преобразование одной части равенства до получения другой части. Например, доказываем, что \((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\) путём раскрытия скобок;
• тождественное преобразование каждой части равенства до получения одного и того же выражения. Например, показываем, что \(\frac{x^2 — 1}{x — 1} = x + 1\), преобразовав обе части к виду \(x + 1\);
• доказательство через разность левой и правой частей равенства, показывая, что она тождественно равна нулю. Например, для равенства \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\) проверяем: \((x^2 + 2x + 1) — (x + 1)^2 = 0\) для любого \(x\).