ГДЗ по Алгебре 7 Класс Проверьте себя №5 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Представьте в виде многочлена выражение \((x — 6)(x^2 + 6x + 36)\)

A) \(x^3 — 36\)

Б) \(x^3 + 36\)

В) \(x^3 — 216\)

Г) \(x^3 + 216\)

2. Найдите многочлен \(M\), если \(y^3 — 64 = (y — 4) \cdot M\)

A) \(y^2 — 8y + 16\)

Б) \(y^2 — 4y + 16\)

В) \(y^2 + 8y + 16\)

Г) \(y^2 + 4y + 16\)

3. Упростите выражение \((a^2 + 2b^3)(a^4 — 2a^2b^3 + 4b^6)\)

A) \(a^6 + 4b^9\)

Б) \(a^6 — 4b^9\)

В) \(a^6 — 8b^9\)

Г) \(a^6 + 8b^9\)

4. Разложите на множители многочлен \(3c^2 — 48\)

A) \(3(c — 16)\)

Б) \(3(c — 4)^2\)

В) \(3(c — 4)(c + 4)\)

Г) \(3c(c — 16)\)

5. Разложите на множители выражение \(7a^2 — 42a + 63\)

A) \(7(a — 3)(a + 3)\)

Б) \(7(a + 3)^2\)

В) \(7(a — 3)^2\)

Г) \(7(a — 9)^2\)

6. Разложите на множители многочлен \(a^8 — a^6\)

A) \(a^6(a — 1)\)

Б) \(a^6(a + 1)^2

В) \(a^6(a — 1)(a + 1)\)

Г) \(a^6(a — 1)^2\)

7. Разложите на множители выражение \(m^2 — n^2 + m + n\)

A) \((m + n)(m — n + 1)\)

Б) \((m — n)(m + n + 1)\)

В) \((m — n)(m — n + 1)\)

Г) \((m + n)(m + n + 1)\)

8. Представьте в виде произведения выражение \(x^2 — y^2 + 14y — 49\)

A) \((x — y + 7)(x + y + 7)\)

Б) \((x — y + 7)(x + y — 7)\)

В) \((x — y — 7)(x + y + 7)\)

Г) \((x — y — 7)(x + y — 7)\)

9. Разложите на множители многочлен \(81a^4 — 1\)

A) \((3a — 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)\)

Б) \((3a^2 — 1)(3a^2 + 1)(9a^2 + 1)\)

В) \((3a — 1)^2(3a + 1)^2\)

Г) \((3a — 1)^4\)

10. Решите уравнение \(49x — x^2 = 0\)

A) \(0; 7\)

Б) \(-7; 0; 7\)

В) \(0; 49\)

Г) \(-7; 7\)

11. Решите уравнение \(x^3 + 3x^2 — x — 3 = 0\)

A) \(-1; 1\)

Б) \(-1; 3\)

В) \(1; 3\)

Г) \(-3; -1; 1\)

12. Представьте в виде произведения выражение \((x^2 — 2)^2 — 4(x^2 — 2) + 4\)

A) \((x — 4)^2\)

Б) \((x — 2)^2(x + 2)^2\)

В) \(x^4\)

Г) \((x^2 — 6)^2\)

1) \((x — 6)(x^2 + 6x + 36) = x^3 — 6^3 = x^3 — 216\)

Ответ: В)

2)  \(y^3 — 64 = (y — 4)(y^2 + 4y + 16)\)

\(M = y^2 + 4y + 16\)

Ответ: Г)

3) \((a^2 + 2b^3)(a^4 — 2a^2b^3 + 4b^6) = (a^2)^3 + (2b^3)^3 = a^6 + 8b^9\)

Ответ: Г)

4) \(3c^2 — 48 = 3(c^2 — 16) = 3(c — 4)(c + 4)\)

Ответ: Б)

5) \(7a^2 — 42a + 63 = 7(a^2 — 6a + 9) = 7(a — 3)^2\)

Ответ: Б)

6) \(a^8 — a^6 = a^6(a^2 — 1) = a^6(a — 1)(a + 1)\)

Ответ: Б)

7) \(m^2 — n^2 + m + n = (m^2 — n^2) + (m + n) = (m — n)(m + n) +\)

\(+ (m + n) = (m + n)(m — n + 1)\)

Ответ: А)

8) \(x^2 — y^2 + 14y — 49 = x^2 — (y^2 — 14y + 49) = x^2 — (y — 7)^2 =\)

\(= (x — (y — 7))(x + (y — 7)) = (x — y + 7)(x + y — 7)\)

Ответ: В)

9) \(81a^4 — 1 = (9a^2 — 1)(9a^2 + 1) = (3a — 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)\)

Ответ: А)

10) \(49x — x^2 = 0\)

\(x(49 — x) = 0\)

\(x = 0\) или \(49 — x = 0\)

\(x = 49\)

Ответ: В)

11) \(x^3 + 3x^2 — x — 3 = 0\)

\(x^2(x + 3) — (x + 3) = 0\)

\((x + 3)(x^2 — 1) = 0\)

\((x + 3)(x — 1)(x + 1) = 0\)

\(x + 3 = 0\) или \(x — 1 = 0\) или \(x + 1 = 0\)

\(x = -3 \quad\quad\quad x = 1 \quad\quad\quad x = -1\)

Ответ: Г)

12) \((x^2 — 2)^2 — 4(x^2 — 2) + 4 = (x^2 — 2)^2 — 2 \cdot 2 \cdot (x^2 — 2) + 2^2 =\)

\(= ((x^2 — 2) — 2)^2 = (x^2 — 4)^2 = ((x — 2)(x + 2))^2 = (x — 2)^2(x + 2)^2\)

Ответ: Б)

1) Выражение \((x — 6)(x^2 + 6x + 36)\)

Используем формулу разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\).

Здесь \(a = x\), \(b = 6\), тогда:

\((x — 6)(x^2 + 6x + 36) = x^3 — 6^3 = x^3 — 216.\p)

Ответ: В).

2) Найдем многочлен \(M\), если \(y^3 — 64 = (y — 4) \cdot M\)

Используем формулу разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\).

Здесь \(a = y\), \(b = 4\), тогда \(M = y^2 + 4y + 16\).

Ответ: Г).

3) Упростим \((a^2 + 2b^3)(a^4 — 2a^2b^3 + 4b^6)\)

Используем формулу суммы кубов: \((p + q)(p^2 — pq + q^2) = p^3 + q^3\).

Здесь \(p = a^2\), \(q = 2b^3\), тогда:

\((a^2 + 2b^3)(a^4 — 2a^2b^3 + 4b^6) = (a^2)^3 + (2b^3)^3 = a^6 + 8b^9\)

Ответ: Г).

4) Разложим \(3c^2 — 48\)

Вынесем общий множитель 3: \(3c^2 — 48 = 3(c^2 — 16)\)

Далее разложим \(c^2 — 16 = (c — 4)(c + 4)\)

Итого: \(3c^2 — 48 = 3(c — 4)(c + 4)\)

Ответ: В).

5) Разложим \(7a^2 — 42a + 63\)

Вынесем общий множитель 7: \(7a^2 — 42a + 63 = 7(a^2 — 6a + 9)\)

Квадрат трёхчлена: \(a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2\)

Итого: \(7(a — 3)^2\)

Ответ: В).

6) Разложим \(a^8 — a^6\)

Вынесем общий множитель \(a^6\): \(a^8 — a^6 = a^6(a^2 — 1)\)

Разложим \(a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1)\)

Итого: \(a^8 — a^6 = a^6(a — 1)(a + 1)\)

Ответ: В).

7) Разложим \(m^2 — n^2 + m + n\)

Группируем слагаемые: \((m^2 — n^2) + (m + n)\)

Разложим разность квадратов: \((m^2 — n^2) = (m — n)(m + n)\)

Итого: \((m — n)(m + n) + (m + n) = (m + n)((m — n) + 1) = (m + n)(m — n + 1)\)

Ответ: А).

8) Разложим \(x^2 — y^2 + 14y — 49\)

Сгруппируем: \(x^2 — (y^2 — 14y + 49) = x^2 — (y — 7)^2\)

Разность квадратов: \(x^2 — (y — 7)^2 = (x — (y — 7))(x + (y — 7)) = (x — y + 7)(x + y — 7)\)

Ответ: Б).

9) Разложим \(81a^4 — 1\)

Разность квадратов: \(81a^4 — 1 = (9a^2 — 1)(9a^2 + 1)\)

Далее: \(9a^2 — 1 = (3a — 1)(3a + 1)\)

Итого: \(81a^4 — 1 = (3a — 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)\)

Ответ: А).

10) Решим \(49x — x^2 = 0\)

Перепишем: \(-x^2 + 49x = 0\) \(x(-x + 49) = 0\)

Следовательно, \(x = 0\) или \(-x + 49 = 0\) \(x = 49\)

Ответ: В).

11) Решим \(x^3 + 3x^2 — x — 3 = 0\)

Группируем: \(x^2(x + 3) — (x + 3) = 0\)  \((x + 3)(x^2 — 1) = 0\)

Разложим \(x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)\)

Итого: \((x + 3)(x — 1)(x + 1) = 0\)

Следовательно, \(x = -3\), \(x = 1\), \(x = -1\)

Ответ: Г).

12) Разложим \((x^2 — 2)^2 — 4(x^2 — 2) + 4\)

Группируем как квадрат трёхчлена: \((x^2 — 2)^2 — 2 \cdot 2 \cdot (x^2 — 2) + 2^2 = ((x^2 — 2) — 2)^2 = (x^2 — 4)^2\)

Разложение на множители: \((x^2 — 4)^2 = ((x — 2)(x + 2))^2 = (x — 2)^2(x + 2)^2\)

Ответ: Б).