ГДЗ по Алгебре 7 Класс Проверьте себя №7 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Какая из приведённых пар чисел является решением уравнения \(5x + 3y = 4\)?

A) \((2; 1)\)

Б) \((1; 0)\)

В) \((2; -2)\)

Г) \((-1; 2)\)

2. Каковы координаты точки пересечения графика уравнения \(2x — 5y = 10\) с осью абсцисс?

A) \((0; -2)\)

Б) \((-2; 0)\)

В) \((0; 5)\)

Г) \((5; 0)\)

3. Решите систему уравнений \(\begin{cases} 5x — 4y = 11, \\ 2x + 4y = 10. \end{cases}\)

A) \((3; 1)\)

Б) \((1; 3)\)

В) \((1; 2)\)

Г) \((2; 1)\)

4. Решите систему уравнений \(\begin{cases} 15x + 2y = 7, \\ 2x — y = 6. \end{cases}\)

A) \((3; -19)\)

Б) \((1; -4)\)

В) \((-5; 41)\)

Г) \((-1; 11)\)

5. Пусть пара чисел \((a; b)\) является решением системы уравнений \(\begin{cases} x + y = 1, \\ 3x — y = 7. \end{cases}\) Найдите значение выражения \(a^2 — b^2\).

A) \(5\)

Б) \(-5\)

В) \(3\)

Г) \(-3\)

6. При каком значении \(a\) система уравнений \(\begin{cases} 3x + y = 4, \\ x — ay = -6 \end{cases}\) не имеет решений?

A) \(3\)

Б) \(-3\)

В) \(\frac{1}{3}\)

Г) \(-\frac{1}{3}\)

7. При каком значении \(b\) система уравнений \(\begin{cases} 4x + by = 10, \\ 2x — 3y = 5 \end{cases}\) имеет бесконечно много решений?

A) \(-6\)

Б) \(3\)

В) \(6\)

Г) такого значения не существует

8. График линейной функции проходит через точки \(A(1; 4)\) и \(B(-2; 13)\). Задайте эту функцию формулой.

A) \(y = 3x + 1\)

Б) \(y = -3x + 1\)

В) \(y = -3x + 7\)

Г) \(y = 3x + 7\)

9. Мать и дочь слепили вместе 104 вареника, причём дочь работала 2 ч, а мать — 3 ч. За 1 ч мать делает на 8 вареников больше, чем дочь.

Пусть дочь за 1 ч делает \(x\) вареников, а мать — \(y\) вареников. Какая из следующих систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

A) \(\begin{cases} 2x + 3y = 104, \\ x — y = 8 \end{cases}\)

Б) \(\begin{cases} 3x + 2y = 104, \\ x — y = 8 \end{cases}\)

В) \(\begin{cases} 2x + 3y = 104, \\ y — x = 8 \end{cases}\)

Г) \(\begin{cases} 3x + 2y = 104, \\ y — x = 8 \end{cases}\)

10. Из двух городов, расстояние между которыми 60 км, выехали одновременно грузовая и легковая машины. Если они поедут навстречу друг другу, то встретятся через 30 мин. Если они поедут в одном направлении, то легковая машина догонит грузовую через 3 ч после начала движения.

Пусть скорость грузовой машины равна \(x\) км/ч, а легковой — \(y\) км/ч. Какая из следующих систем уравнений соответствует условию задачи?

A) \(\begin{cases} 0,5x + 0,5y = 60, \\ 3y — 3x = 60 \end{cases}\)

Б) \(\begin{cases} 30x + 30y = 60, \\ 3y — 3x = 60 \end{cases}\)

В) \(\begin{cases} 30x + 30y = 60, \\ 3y — 3x = 60 \end{cases}\)

Г) \(\begin{cases} 0,5x + 0,5y = 60, \\ 3x — 3y = 60 \end{cases}\)

11. Чайник и кофемолка стоили вместе 3700 р. После того как чайник подорожал на 10%, а кофемолка подешевела на 10%, они стали стоить вместе 3830 р.

Пусть чайник стоил сначала \(x\) р., а кофемолка — \(y\) р. Какая из следующих систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

A) \(\begin{cases} x + y = 3700, \\ 110x + 90y = 3830 \end{cases}\)

Б) \(\begin{cases} x + y = 3700, \\ 0,1x + 0,1y = 3830 \end{cases}\)

В) \(\begin{cases} x + y = 3700, \\ 1,1x + 0,9y = 3830 \end{cases}\)

Г) \(\begin{cases} x + y = 3700, \\ 0,9x + 1,1y = 3830 \end{cases}\)

12. Решите уравнение \(x^2 + y^2 + 12x — 2y + 37 = 0\).

A) \((6; 1)\)

Б) \((-6; -1)\)

В) \((-6; 1)\)

Г) уравнение не имеет решений

1) \(5x + 3y = 4;\)

А) \((2; 1);\)

\(5 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 4\)

\(10 + 3 = 4\)

\(13 \neq 4 \to\) не является.

Б) \((1; 0);\)

\(5 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 4\)

\(5 + 0 = 4\)

\(5 \neq 4 \to\) не является.

В) \((2; -2);\)

\(5 \cdot 2 + 3 \cdot (-2) = 4\)

\(10 — 6 = 4\)

\(4 = 4 \to\) является.

Г) \((-1; 2);\)

\(5 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 4\)

\(-5 + 6 = 4\)

\(1 \neq 4 \to\) не является.

Ответ: В).

2) \(2x — 5y = 10,\quad y = 0;\)

\(2x — 5 \cdot 0 = 10\)

\(2x = 10\)

\(x = 5.\)

Координаты точки пересечения данного графика с осью абсцисс: \((5; 0)\).

Ответ: Г).

3) \(\begin{cases} 5x — 4y = 11 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases} +\)

\(\begin{cases} 7x = 21 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 3 \\ x + 2y = 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 3 \\ 3 + 2y = 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 3 \\ 2y = 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases} \to (3; 1).\)

Ответ: А).

4) \(\begin{cases} 15x + 2y = 7 \\ 2x — y = 6 \end{cases} \mid \cdot 2\)

\(\begin{cases} 15x + 2y = 7 \\ 4x — 2y = 12 \end{cases} +\)

\(\begin{cases} 19x = 19 \\ 2x — y = 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 1 \\ y = 2x — 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 1 \\ y = -4 \end{cases} \to (1; -4).\)

Ответ: Б).

5) \(\begin{cases} x + y = 1 \\ 3x — y = 7 \end{cases} +\)

\(\begin{cases} 4x = 8 \\ x + y = 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 — x \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases}.\)

Так как \((a; b) = (2; -1)\), то:

\(a^2 — b^2 = 2^2 — (-1)^2 = 4 — 1 = 3.\)

Ответ: В).

6) Система уравнений не имеет решений, если прямые параллельны.

\(\begin{cases} 3x + y = 4 \mid : 3 \\ x — ay = -6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x + \frac{1}{3}y = \frac{4}{3} \\ x — ay = -6 \end{cases},\quad a = -\frac{1}{3}.\)

Ответ: Г).

7) Система уравнений имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают.

\(\begin{cases} 4x + by = 10 \\ 2x — 3y = 5 \mid \cdot 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 4x + by = 10 \\ 4x — 6y = 10 \end{cases},\quad b = -6.\)

Ответ: А).

8) \(A(1; 4)\) и \(B(-2; 13);\)

\(y = kx + b.\)

\(\begin{cases} 4 = k + b \\ 13 = -2k + b \end{cases} -\)

\(\begin{cases} -3k = 9 \\ 4 = k + b \end{cases}\)

\(\begin{cases} k = -3 \\ b = 4 — k \end{cases}\)

\(\begin{cases} k = -3 \\ b = 7 \end{cases}.\)

Формула: \(y = -3x + 7.\)

Ответ: Б).

9) Пусть дочь за 1 ч делает \(x\) вареников, а мать — \(y\) вареников.

За 2 ч дочь делает \(2x\) вареников, а мать за 3 ч делает \(3y\) вареников, вместе они слепили 104 вареника.

Также известно, что за 1 ч мать делает на 8 вареников больше.

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} 2x + 3y = 104 \\ y — x = 8 \end{cases}.\)

Ответ: В).

10) Пусть скорость грузовой машины равна \(x\) км/ч, а легковой — \(y\) км/ч.

Если машины поедут навстречу друг другу, то встретятся через 30 мин = 0,5 ч, тогда: \(0,5(x + y) = 60.\)

Если машины поедут в одном направлении, то: \(3(y — x) = 60.\)

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} 0,5(x + y) = 60 \\ 3(y — x) = 60 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 0,5x + 0,5y = 60 \\ 3y — 3x = 60 \end{cases}.\)

Ответ: А).

11) Пусть чайник стоил сначала \(x\) р., а кофемолка — \(y\) р.

Тогда, по условию задачи \(x + y = 3700.\)

После того, как чайник подорожал, а кофемолка подешевела, они стали стоить: \(x + 0,1x = 1,1x\) р. чайник и \(y — 0,1y = 0,9y\) р. кофемолка. Получим уравнение \(1,1x + 0,9y = 3830.\)

Система уравнений:

\(\begin{cases} x + y = 3700 \\ 1,1x + 0,9y = 3830 \end{cases}.\)

Ответ: Б).

12) \(x^2 + y^2 + 12x — 2y + 37 = 0\)

\((x^2 + 12x + 36) + (y^2 — 2y + 1) = 0\)

\((x + 6)^2 + (y — 1)^2 = 0\)

\(x + 6 = 0,\quad y — 1 = 0\)

\(x = -6,\quad y = 1;\)

\((-6; 1).\)

Ответ: Б).

1) Решение уравнения \(5x + 3y = 4\) для проверки, какая пара чисел является решением.

Проверим каждую пару:

A) \((2; 1)\)

\(5 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 10 + 3 = 13 \neq 4\) → не решение.

Б) \((1; 0)\)

\(5 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 5 + 0 = 5 \neq 4\) → не решение.

В) \((2; -2)\)

\(5 \cdot 2 + 3 \cdot (-2) = 10 — 6 = 4\) → верно, это решение.

Г) \((-1; 2)\)

\(5 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = -5 + 6 = 1 \neq 4\) → не решение.

Ответ: В).

2) Координаты точки пересечения графика уравнения \(2x — 5y = 10\) с осью абсцисс.

На оси абсцисс \(y = 0\). Подставляем:

\(2x — 5 \cdot 0 = 10 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\)

Координаты точки пересечения: \((5; 0)\).

Ответ: Г).

3) Решение системы \(\begin{cases} 5x — 4y = 11 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases}\)

Сложим уравнения, чтобы исключить \(y\):

\(5x — 4y + 2x + 4y = 11 + 10\)

\(7x = 21 \Rightarrow x = 3\)

Подставим \(x = 3\) во второе уравнение:

\(2 \cdot 3 + 4y = 10 \Rightarrow 6 + 4y = 10 \Rightarrow 4y = 4 \Rightarrow y = 1\)

Решение: \((3; 1)\)

Ответ: А).

4) Решение системы \(\begin{cases} 15x + 2y = 7 \\ 2x — y = 6 \end{cases}\)

Умножим второе уравнение на 2:

\(4x — 2y = 12\)

Сложим с первым уравнением:

\(15x + 2y + 4x — 2y = 7 + 12\)

\(19x = 19 \Rightarrow x = 1\)

Подставим \(x = 1\) во второе уравнение:

\(2 \cdot 1 — y = 6 \Rightarrow 2 — y = 6 \Rightarrow -y = 4 \Rightarrow y = -4\)

Решение: \((1; -4)\)

Ответ: Б).

5) Система \(\begin{cases} x + y = 1 \\ 3x — y = 7 \end{cases}\)

Сложим уравнения: \(x + y + 3x — y = 1 + 7 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2\)

Подставим \(x = 2\) в первое уравнение: \(2 + y = 1 \Rightarrow y = -1\)

Проверим выражение \(a^2 — b^2\):

\(2^2 — (-1)^2 = 4 — 1 = 3\)

Ответ: В).

6) Система \(\begin{cases} 3x + y = 4 \\ x — ay = -6 \end{cases}\) не имеет решений, если прямые параллельны.

Прямые параллельны, когда коэффициенты при \(x\) и \(y\) пропорциональны:

\(\frac{3}{1} = \frac{1}{-a} \Rightarrow 3 = -\frac{1}{a} \Rightarrow a = -\frac{1}{3}\)

Ответ: Г).

7) Система \(\begin{cases} 4x + by = 10 \\ 2x — 3y = 5 \end{cases}\) имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают.

Умножим второе уравнение на 2: \(4x — 6y = 10\)

Сравним с первым уравнением: \(4x + by = 10\)

Следовательно, \(b = -6\)

Ответ: А).

8) Функция через точки \(A(1; 4)\) и \(B(-2; 13)\)

Найдем коэффициент \(k\):

\(k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = \frac{13 — 4}{-2 — 1} = \frac{9}{-3} = -3\)

Найдем \(b\): \(y = kx + b \Rightarrow 4 = -3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 7\)

Функция: \(y = -3x + 7\)

Ответ: В).

9) Мать и дочь: составим систему

Пусть дочь делает \(x\) вареников/ч, мать — \(y\) вареников/ч

2 часа дочь: \(2x\), 3 часа мать: \(3y\)

Всего: \(2x + 3y = 104\)

Мать на 8 вареников больше: \(y — x = 8\)

Система: \(\begin{cases} 2x + 3y = 104 \\ y — x = 8 \end{cases}\)

Ответ: В).

10) Машины встречаются через 0,5 ч навстречу:

\(0,5(x + y) = 60 \Rightarrow x + y = 120\)

В одном направлении 3 ч:

\(3(y — x) = 60 \Rightarrow y — x = 20\)

Система: \(\begin{cases} 0,5x + 0,5y = 60 \\ 3y — 3x = 60 \end{cases}\)

Ответ: А).

11) Чайник \(x\), кофемолка \(y\)

До изменения: \(x + y = 3700\)

После изменения: \(1,1x + 0,9y = 3830\)

Система: \(\begin{cases} x + y = 3700 \\ 1,1x + 0,9y = 3830 \end{cases}\)

Ответ: В).

12) Решение уравнения \(x^2 + y^2 + 12x — 2y + 37 = 0\)

Группируем и выделяем квадраты:

\(x^2 + 12x + y^2 — 2y + 37 = 0\)

\((x^2 + 12x + 36) + (y^2 — 2y + 1) = 0\)

\((x + 6)^2 + (y — 1)^2 = 0\)

Следовательно:

\(x — 6 = 0 \Rightarrow x = 6\)

\(y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1\)

Решение: \((6; -1)\)

Ответ: Б).