Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 10.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
При каких значениях параметра a первое из неравенств в паре является следствием второго неравенства:
- 2x — a > 0 и x + 2a — 3 > 0;
- 3x + a ≤ 0 и 2x — a + 4 < 0;
- x + a — 3 > 0 и x/2 + a — 1 ≥ 0;
- ax < 1 и x > 1;
- x > 0 и ax > 1?
- Первое неравенство является следствием второго при a ≤ 1,2.
- Первое неравенство является следствием второго при a ≤ 2,4.
- Первое неравенство является следствием второго при a < -1.
- Первое неравенство является следствием второго при a ≤ 0.
- Первое неравенство является следствием второго при a ≥ 0.
1) 2x — a > 0 и x + 2a — 3 > 0
Рассмотрим оба неравенства:
Первое: 2x — a > 0 ⟹ 2x > a ⟹ x > a/2.
Второе: x + 2a — 3 > 0 ⟹ x > 3 — 2a.
Теперь выясним, при каких значениях параметра a первое неравенство будет следствием второго:
a/2 ≤ 3 — 2a.
Умножим обе части на 2 (знак неравенства не меняется):
a ≤ 6 — 4a.
Приведем подобные:
5a ≤ 6 ⟹ a ≤ 1,2.
Ответ: при a ≤ 1,2.
2) 3x + a ≤ 0 и 2x — a + 4 < 0
Рассмотрим оба неравенства:
Первое: 3x + a ≤ 0 ⟹ 3x ≤ -a ⟹ x ≤ -a/3.
Второе: 2x — a + 4 < 0 ⟹ 2x < a — 4 ⟹ x < (a — 4)/2.
Теперь выясним, при каких значениях параметра a первое неравенство будет следствием второго:
-a/3 ≤ (a — 4)/2.
Приведем к общему знаменателю:
-2a ≤ 3(a — 4).
Раскроем скобки:
-2a ≤ 3a — 12.
Приведем подобные:
-5a ≤ -12 ⟹ a ≤ 2,4.
Ответ: при a ≤ 2,4.
3) x + a — 3 > 0 и x/2 + a — 1 ≥ 0
Рассмотрим оба неравенства:
Первое: x + a — 3 > 0 ⟹ x > 3 — a.
Второе: x/2 + a — 1 ≥ 0 ⟹ x/2 ≥ 1 — a ⟹ x ≥ 2(1 — a).
Теперь выясним, при каких значениях параметра a первое неравенство будет следствием второго:
3 — a < 2(1 — a).
Раскроем скобки:
3 — a < 2 — 2a.
Приведем подобные:
a < -1.
Ответ: при a < -1.
4) ax < 1 и x > 1
Рассмотрим оба неравенства:
Первое: ax < 1 ⟹ x < 1/a (при a ≠ 0).
Второе: x > 1.
Теперь выясним, при каких значениях параметра a первое неравенство будет следствием второго:
x > 1 и x < 1/a.
- Если a > 0, то 1 < 1/a ⟹ a < 1. В этом случае нет общих решений.
- Если a < 0, то 1 < 1/a ⟹ a > 1. В этом случае тоже нет общих решений.
- Если a = 0, то первое неравенство не имеет смысла.
Ответ: при a ≤ 0.
5) x > 0 и ax > 1
Рассмотрим оба неравенства:
Первое: x > 0.
Второе: ax > 1 ⟹ x > 1/a (при a ≠ 0).
Теперь выясним, при каких значениях параметра a первое неравенство будет следствием второго:
x > 1/a и x > 0.
- Если a > 0, то 1/a > 0, и оба неравенства выполняются.
- Если a < 0, то 1/a < 0, и решения нет.
- Если a = 0, то второе неравенство не имеет смысла.
Ответ: при a ≥ 0.
