ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 10.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Среди данных неравенств укажите неравенство, решением которого является любое число, и неравенство, не имеющее решений:

1. (x² + 1)/x² ≥ 0;
2. (x² + 1)/(x² + 1) < 1;
3. (x² — 1)/(x² — 1) ≥ 1;
4. x²/(x² + 1) ≥ 0.

1. Неравенство (x² + 1)/x² ≥ 0 выполняется для всех x ≠ 0.
2. Неравенство (x² + 1)/(x² + 1) < 1 решений не имеет, так как левая часть всегда равна 1.
3. Неравенство (x² — 1)/(x² — 1) ≥ 1 выполняется только для x = 0.
4. Неравенство x²/(x² + 1) ≥ 0 выполняется для всех x, так как дробь всегда неотрицательна.

Ответ: 4) любое число; 2) решений нет.

Рассмотрим первое неравенство (x² + 1)/x² ≥ 0:

Числитель x² + 1 всегда положителен, так как x² ≥ 0 и прибавляется 1.

Знаменатель x² также всегда положителен, кроме случая x = 0.

Дробь положительна для всех x ≠ 0.
Решение: Все числа, кроме x = 0.

Рассмотрим второе неравенство (x² + 1)/(x² + 1) < 1:

Левая часть равна 1, так как числитель и знаменатель совпадают.

Неравенство 1 < 1 невозможно, поэтому решений нет.
Решение: Нет решений.

Рассмотрим третье неравенство (x² — 1)/(x² — 1) ≥ 1:

Левая часть равна 1 при x² — 1 ≠ 0, то есть при x ≠ ±1.

Для x = ±1 выражение не определено, так как знаменатель становится равным 0.

Единственное значение, при котором неравенство выполняется, — x = 0 (если рассматривать пределы).
Решение: Только x = 0.

Рассмотрим четвертое неравенство x²/(x² + 1) ≥ 0:

Числитель x² всегда неотрицателен.

Знаменатель x² + 1 всегда положителен.

Таким образом, дробь всегда неотрицательна.
Решение: Все числа.

Вывод:

Неравенство, решением которого является любое число: 4) x²/(x² + 1) ≥ 0.

Неравенство, не имеющее решений: 2) (x² + 1)/(x² + 1) < 1.

Ответ: 4) любое число; 2) решений нет.