ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 12.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенства:

1. |x + 5| < 4;
2. |2x — 1| > 3;
3. |3x + 2| ≤ 1;
4. |5x — 1| ≥ 4.

1. |x + 5| < 4:
   x + 5 < 4 → x < -1,
   x + 5 > -4 → x > -9.
   Ответ: (-9; -1).
2. |2x — 1| > 3:
   2x — 1 > 3 → 2x > 4 → x > 2,
   2x — 1 < -3 → 2x < -2 → x < -1.
   Ответ: (-∞; -1) ∪ (2; +∞).
3. |3x + 2| ≤ 1:
   3x + 2 ≤ 1 → 3x ≤ -1 → x ≤ -1/3,
   3x + 2 ≥ -1 → 3x ≥ -3 → x ≥ -1.
   Ответ: [-1; -1/3].
4. |5x — 1| ≥ 4:
   5x — 1 ≥ 4 → 5x ≥ 5 → x ≥ 1,
   5x — 1 ≤ -4 → 5x ≤ -3 → x ≤ -0.6.
   Ответ: (-∞; -0.6] ∪ [1; +∞).

1. Решение неравенства |x + 5| < 4
По определению модуля:
|x + 5| < 4 означает, что выражение x + 5 должно находиться в пределах от -4 до 4:
-4 < x + 5 < 4.

1.1. Уберем «+5» из неравенства:
-4 — 5 < x < 4 — 5,
-9 < x < -1.

Ответ: (-9; -1).

2. Решение неравенства |2x — 1| > 3
По определению модуля:
|2x — 1| > 3 означает, что выражение 2x — 1 либо больше 3, либо меньше -3:
2x — 1 > 3 или 2x — 1 < -3.

2.1. Рассмотрим случай 2x — 1 > 3:
2x > 3 + 1,
2x > 4,
x > 2.

2.2. Рассмотрим случай 2x — 1 < -3:
2x < -3 + 1,
2x < -2,
x < -1.

Ответ: (-∞; -1) ∪ (2; +∞).

3. Решение неравенства |3x + 2| ≤ 1
По определению модуля:
|3x + 2| ≤ 1 означает, что выражение 3x + 2 находится в пределах от -1 до 1:
-1 ≤ 3x + 2 ≤ 1.

3.1. Уберем «+2» из неравенства:
-1 — 2 ≤ 3x ≤ 1 — 2,
-3 ≤ 3x ≤ -1.

3.2. Разделим на 3:
-3/3 ≤ x ≤ -1/3,
-1 ≤ x ≤ -1/3.

Ответ: [-1; -1/3].

4. Решение неравенства |5x — 1| ≥ 4
По определению модуля:
|5x — 1| ≥ 4 означает, что выражение 5x — 1 либо больше или равно 4, либо меньше или равно -4:
5x — 1 ≥ 4 или 5x — 1 ≤ -4.

4.1. Рассмотрим случай 5x — 1 ≥ 4:
5x ≥ 4 + 1,
5x ≥ 5,
x ≥ 1.

4.2. Рассмотрим случай 5x — 1 ≤ -4:
5x ≤ -4 + 1,
5x ≤ -3,
x ≤ -0.6.

Ответ: (-∞; -0.6] ∪ [1; +∞).