ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 2.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите подмножества A и B множества C, где C ≠ ∅, такие, что для любого подмножества X множества C выполняется равенство X ∩ A = X ∪ B.

A = C, B = ∅.

Шаг 1. Анализ равенства X ∩ A = X ∪ B:

• Левая часть — это пересечение подмножества X с множеством A, то есть все элементы, которые одновременно принадлежат X и A.
• Правая часть — это объединение подмножества X с множеством B, то есть все элементы, которые принадлежат X или B.

Для выполнения равенства необходимо, чтобы:

1. Все элементы из X ∩ A также принадлежали X ∪ B.
2. Все элементы из X ∪ B также принадлежали X ∩ A.

Шаг 2. Рассмотрим частные случаи:

Если X = ∅ (пустое множество):

Левая часть: ∅ ∩ A = ∅.

Правая часть: ∅ ∪ B = B.

Следовательно, B должно быть пустым множеством, то есть B = ∅.

Если X = C (всё множество):

Левая часть: C ∩ A = A.

Правая часть: C ∪ B = C.

Следовательно, A должно быть равно C, то есть A = C.

Шаг 3. Проверка общего случая:
Для любого X ⊆ C:

• Если A = C, то X ∩ A = X ∩ C = X (так как X является подмножеством C).
• Если B = ∅, то X ∪ B = X ∪ ∅ = X.
• Таким образом, равенство X ∩ A = X ∪ B выполняется.

Вывод:
Подмножества A и B, удовлетворяющие условию задачи:
A = C, B = ∅.

Ответ:
A = C, B = ∅.