Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 3.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В выпуклом n-угольнике (n ≥ 4) никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. Докажите, что количество всех точек пересечения диагоналей равно количеству четырёхугольников, все вершины которых являются вершинами данного n-угольника.
- Точка пересечения диагоналей образуется, если выбрать 4 вершины, так как только тогда можно провести две пересекающиеся диагонали.
- Количество способов выбрать 4 вершины из n равно числу сочетаний: C(n, 4) = n(n-1)(n-2)(n-3) / 24.
- Каждой точке пересечения диагоналей соответствует один четырёхугольник, вершины которого — это выбранные 4 вершины.
- Таким образом, количество точек пересечения диагоналей равно количеству четырёхугольников, построенных из вершин n-угольника.
Ответ: Количество точек пересечения диагоналей равно количеству четырёхугольников, построенных из вершин n-угольника.
1. Анализ задачи:
Выпуклый n-угольник имеет n вершин. Диагонали пересекаются только внутри многоугольника, и никакие три диагонали не пересекаются в одной точке.
Точка пересечения диагоналей образуется, если выбрать 4 вершины многоугольника. Эти 4 вершины задают два набора диагоналей, которые пересекаются внутри многоугольника.
2. Количество способов выбрать 4 вершины:
Для выбора 4 вершин из n общее количество комбинаций равно числу сочетаний:
C(n, 4) = n(n-1)(n-2)(n-3) / 24.
3. Связь точек пересечения диагоналей и четырёхугольников:
Каждой точке пересечения диагоналей соответствует один четырёхугольник, вершины которого — это выбранные 4 вершины.
Таким образом, количество точек пересечения диагоналей равно количеству четырёхугольников, построенных из вершин данного n-угольника.
4. Итог:
Количество точек пересечения диагоналей и количество четырёхугольников одинаково и равно C(n, 4) = n(n-1)(n-2)(n-3) / 24.
Ответ: Количество точек пересечения диагоналей равно количеству четырёхугольников, построенных из вершин n-угольника.
