Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 3.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Автобусные билеты имеют номера от 000 000 до 999 999. Билет называют «счастливым», если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что количество всех «счастливых» билетов чётно.
- Пусть счастливый билет имеет номер abcdef, тогда a + b + c = d + e + f.
- Последний счастливый билет имеет номер 999 999, так как 9 + 9 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27.
- Поставим в соответствие каждому счастливому билету с номером abcdef билет с номером (999 999 — abcdef).
- Доказываем, что билет с номером (999 999 — abcdef) также является счастливым, так как 27 — (a + b + c) = 27 — (d + e + f).
- Таким образом, каждому счастливому билету соответствует другой счастливый билет, и общее количество счастливых билетов чётно.
Рассмотрим произвольный счастливый билет с номером abcdef, где a, b, c, d, e, f — цифры номера. По определению счастливого билета, выполняется равенство:
a + b + c = d + e + f.
Последний номер билета — это 999 999. Сумма первых трёх цифр (9 + 9 + 9) равна сумме последних трёх цифр (9 + 9 + 9), то есть:
9 + 9 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27.
Таким образом, последний билет тоже является счастливым.
Теперь поставим в соответствие каждому счастливому билету с номером abcdef билет с номером (999 999 — abcdef).
Например, если номер первого билета 123456, то номер второго билета будет 999 999 — 123456 = 876543.
Докажем, что билет с номером (999 999 — abcdef) также является счастливым.
Для этого рассмотрим сумму его первых трёх цифр и сумму последних трёх цифр.
Цифры нового билета можно записать как:
Первые три цифры: (9 — a), (9 — b), (9 — c).
Последние три цифры: (9 — d), (9 — e), (9 — f).
Тогда сумма первых трёх цифр равна:
(9 — a) + (9 — b) + (9 — c).
А сумма последних трёх цифр равна:
(9 — d) + (9 — e) + (9 — f).
Заметим, что:
(9 — a) + (9 — b) + (9 — c) = 27 — (a + b + c),
(9 — d) + (9 — e) + (9 — f) = 27 — (d + e + f).
Так как для счастливого билета выполняется равенство a + b + c = d + e + f, то:
27 — (a + b + c) = 27 — (d + e + f).
Это доказывает, что билет с номером (999 999 — abcdef) также является счастливым.
Таким образом, каждому счастливому билету соответствует другой счастливый билет. Все счастливые билеты образуют пары, а значит, их общее количество чётно.
Ответ: Количество счастливых билетов чётно.
