ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 3.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Рассматриваются треугольники, длины сторон которых выражены натуральными числами. Пусть стороны треугольника равны целым числам a, b, c, которые больше 1, и его периметр равен 1000. Поставим этому треугольнику в соответствие треугольник со сторонами (a — 1), (b — 1), (c — 1), периметр которого равен 997. Докажите, что треугольников с периметром 997 столько же, сколько треугольников с периметром 1000.

1. Пусть треугольник с периметром 1000 имеет стороны a, b, c, такие, что a + b + c = 1000.
2. Поставим ему в соответствие треугольник со сторонами (a — 1), (b — 1), (c — 1). Периметр нового треугольника равен:
   (a — 1) + (b — 1) + (c — 1) = a + b + c — 3 = 1000 — 3 = 997.
3. Для любого треугольника с периметром 1000 существует единственный треугольник с периметром 997.
4. Таким образом, количество треугольников с периметром 997 равно количеству треугольников с периметром 1000.

1. Рассмотрим треугольник с целыми сторонами a, b, c, где a, b, c > 1. По условию задачи, периметр такого треугольника равен 1000:
   a + b + c = 1000.
2. Построим соответствие между треугольниками с периметром 1000 и треугольниками с периметром 997. Для этого каждому треугольнику со сторонами a, b, c поставим в соответствие треугольник со сторонами (a — 1), (b — 1), (c — 1). Периметр нового треугольника:
   (a — 1) + (b — 1) + (c — 1) = a + b + c — 3 = 1000 — 3 = 997.
3. Докажем, что новый треугольник также является треугольником. Для этого необходимо, чтобы выполнялись неравенства треугольника:
   (a — 1) + (b — 1) > (c — 1),
   (a — 1) + (c — 1) > (b — 1),
   (b — 1) + (c — 1) > (a — 1).
   Эти неравенства эквивалентны неравенствам для исходного треугольника:
   a + b > c,
   a + c > b,
   b + c > a.
   Так как исходный треугольник удовлетворяет этим условиям, то и новый треугольник также их удовлетворяет.
4. Теперь рассмотрим обратное соответствие. Пусть дан треугольник со сторонами x, y, z и периметром 997:
   x + y + z = 997.
   Тогда треугольнику со сторонами x, y, z можно поставить в соответствие треугольник со сторонами (x + 1), (y + 1), (z + 1). Периметр этого треугольника равен:
   (x + 1) + (y + 1) + (z + 1) = x + y + z + 3 = 997 + 3 = 1000.
5. Таким образом, каждому треугольнику с периметром 1000 соответствует единственный треугольник с периметром 997, и наоборот. Это означает, что количество треугольников с периметром 997 равно количеству треугольников с периметром 1000.

Ответ: одинаковое количество.