Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 4.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Рассмотрим множество отрезков, которые принадлежат координатной прямой, попарно не пересекаются и длина каждого из них не меньше 1. Докажите, что это множество является или конечным, или счётным.
- Каждый отрезок имеет длину не менее 1.
- Отрезки попарно не пересекаются, поэтому их можно упорядочить по начальным точкам.
- Каждому отрезку можно сопоставить его начальную точку, которая будет уникальной.
- Начальные точки — подмножество множества вещественных чисел.
- Подмножество вещественных чисел либо конечно, либо счётно. Следовательно, множество отрезков либо конечно, либо счётно.
1. Условия задачи:
Дано множество отрезков на координатной прямой. Каждый отрезок:
- Имеет длину не менее 1.
- Попарно не пересекается с другими отрезками (включая концы).
Нужно доказать, что множество таких отрезков либо конечно, либо счётно.
2. Упорядочим отрезки:
Пусть множество отрезков обозначено как A. Каждый отрезок [a₁, b₁], [a₂, b₂], … имеет начальную точку a и конечную точку b. Поскольку отрезки попарно не пересекаются, то:
- Начальные точки отрезков a₁, a₂, … уникальны.
- Они образуют подмножество множества вещественных чисел.
3. Свойства начальных точек:
Поскольку длина каждого отрезка не меньше 1, то между любыми двумя начальными точками двух отрезков существует расстояние не менее 1. Это означает, что начальные точки отрезков находятся на расстоянии не менее 1 друг от друга.
4. Связь с подмножествами чисел:
Начальные точки отрезков образуют подмножество множества вещественных чисел ℝ. Известно, что любое подмножество вещественных чисел, где элементы находятся на расстоянии не менее 1 друг от друга, либо конечно, либо счётно.
5. Доказательство:
- Если начальных точек конечное число, то и отрезков конечное число.
- Если начальных точек бесконечно много, то их можно пронумеровать, так как они упорядочены и находятся на расстоянии не менее 1 друг от друга. В этом случае множество начальных точек счётно, а значит, и множество отрезков также счётно.
6. Вывод:
Таким образом, множество отрезков на координатной прямой, которые попарно не пересекаются и имеют длину не менее 1, либо конечно, либо счётно. Что и требовалось доказать.
