ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 4.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Покажите, что множества точек любых двух отрезков равномощны.

1. Проведём прямую через точки A, B, C, D и выберем точку O вне отрезков AB и CD.
2. Каждой точке M(x₀) отрезка AB поставим в соответствие точку N(x₀) отрезка CD с помощью лучей, проходящих через O.
3. Это взаимно однозначное соответствие, так как каждому x₀ на AB соответствует единственная точка на CD, и наоборот.
4. Следовательно, множества точек отрезков AB и CD равномощны.

1. Постановка задачи:
Нужно доказать, что множество точек любых двух отрезков равномощны. Для этого достаточно установить взаимно однозначное соответствие между точками отрезков AB и CD.

2. Построение взаимно однозначного соответствия:

• Пусть даны отрезки AB и CD.
• Выберем точку O, которая не лежит ни на отрезке AB, ни на отрезке CD.
• Проведём лучи из точки O через каждую точку отрезка AB.
• Каждый такой луч пересекает отрезок CD в единственной точке. Обозначим точку пересечения как N(x₀).

3. Проверка взаимно однозначного соответствия:

• Для каждой точки M(x₀) на отрезке AB существует единственная точка N(x₀) на отрезке CD, так как луч, проведённый из точки O через M(x₀), пересекает отрезок CD ровно в одной точке.
• Обратно, для каждой точки N(x₀) на отрезке CD существует единственная точка M(x₀) на отрезке AB, так как луч, проведённый из точки O через N(x₀), пересекает отрезок AB ровно в одной точке.
• Таким образом, каждому x₀ на AB соответствует единственный x₀ на CD, и наоборот.

4. Вывод:
Множества точек любых двух отрезков равномощны, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Итог:
Множество точек отрезка AB равномощно множеству точек отрезка CD.