ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 4.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На плоскости задано некоторое множество квадратов, сторона каждого из которых равна 10, причём квадраты не пересекаются. Докажите, что это множество конечно или счётно.

1. Каждому квадрату можно поставить в соответствие точку с целыми координатами (например, координаты его центра).
2. Так как квадраты не пересекаются, то соответствующие точки различны.
3. Множество точек с целыми координатами является счётным, следовательно, множество квадратов также счётно.

1. Постановка задачи:
Нужно доказать, что множество квадратов с заданными условиями (сторона равна 10, квадраты не пересекаются) является конечным или счётным. Для этого достаточно установить взаимно однозначное соответствие между квадратами и множеством, которое уже известно как конечное или счётное.

2. Установление соответствия:

• Введём систему координат на плоскости.
• Каждому квадрату поставим в соответствие точку с целыми координатами, которая совпадает с центром квадрата.
• Так как квадраты не пересекаются, то центры всех квадратов различны.
• Таким образом, каждому квадрату соответствует уникальная точка с целыми координатами.

3. Проверка счётности:

• Множество точек с целыми координатами на плоскости уже доказано как счётное (см. предыдущие задачи).
• Следовательно, множество квадратов, соответствующих этим точкам, также счётно.

4. Вывод:
Множество квадратов, заданных в условии задачи, является конечным или счётным, так как каждому квадрату можно поставить в соответствие уникальную точку с целыми координатами.

Итог:
Что и требовалось доказать.