ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 4.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На плоскости задано некоторое множество непересекающихся окружностей, радиусы которых равны 1. Докажите, что это множество конечно или счётно.

1. Каждой окружности можно поставить в соответствие точку с целыми координатами (например, её центр).
2. Так как окружности не пересекаются, их центры различны.
3. Множество точек с целыми координатами на плоскости счётно, следовательно, множество окружностей также счётно.

1. Постановка задачи:
Нужно доказать, что множество окружностей с радиусом 1, которые не пересекаются, является конечным или счётным. Для этого достаточно установить взаимно однозначное соответствие между окружностями и множеством, которое уже известно как конечное или счётное.

2. Установление соответствия:

• Введём систему координат на плоскости.
• Каждой окружности поставим в соответствие точку с целыми координатами, совпадающую с её центром.
• Так как окружности не пересекаются, их центры различны.
• Таким образом, каждой окружности соответствует уникальная точка с целыми координатами.

3. Проверка счётности:

• Множество точек с целыми координатами на плоскости уже доказано как счётное (например, с помощью нумерации по спирали, как показано на рисунке).
• Следовательно, множество окружностей, соответствующих этим точкам, также счётно.

4. Вывод:
Множество окружностей, заданных в условии задачи, является конечным или счётным, так как каждой окружности можно поставить в соответствие уникальную точку с целыми координатами.

Итог:
Что и требовалось доказать.