ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 4.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что каждое из следующих выражений принимает только положительные значения при всех значениях x. Укажите наименьшее значение каждого выражения и значение x, при котором оно достигается:

1. x² — 10x + 27;
2. 9x² + 12x + 7;
3. 2x² — x + 1.

1. Выражение x² — 10x + 27 преобразуется в (x — 5)² + 2. Наименьшее значение равно 2 при x = 5.
2. Выражение 9x² + 12x + 7 преобразуется в (3x + 2)² + 3. Наименьшее значение равно 3 при x = -2/3.
3. Выражение 2x² — x + 1 преобразуется в (1/2x — 1)² + 7/4. Наименьшее значение равно 1 при x = 0.

1. Уравнение x² — 10x + 27
Преобразуем выражение:
x² — 10x + 27 = x² — 10x + 25 + 2 = (x — 5)² + 2.
Квадрат любого числа (x — 5)² всегда неотрицателен, то есть (x — 5)² ≥ 0.
Добавляя 2, получаем, что выражение всегда положительно: (x — 5)² + 2 > 0.
Наименьшее значение достигается, когда (x — 5)² = 0, то есть при x = 5.
Подставляем x = 5: (5 — 5)² + 2 = 0 + 2 = 2.
Ответ: наименьшее значение равно 2 при x = 5.

2. Уравнение 9x² + 12x + 7
Преобразуем выражение:
9x² + 12x + 7 = 9x² + 12x + 4 + 3 = (3x + 2)² + 3.
Квадрат любого числа (3x + 2)² всегда неотрицателен, то есть (3x + 2)² ≥ 0.
Добавляя 3, получаем, что выражение всегда положительно: (3x + 2)² + 3 > 0.
Наименьшее значение достигается, когда (3x + 2)² = 0, то есть при 3x + 2 = 0.
Решаем уравнение: 3x + 2 = 0 ⇒ x = -2/3.
Подставляем x = -2/3: (3(-2/3) + 2)² + 3 = 0 + 3 = 3.
Ответ: наименьшее значение равно 3 при x = -2/3.

3. Уравнение 2x² — x + 1
Преобразуем выражение:
2x² — x + 1 = (1/2x — 1)² + 7/4.
Квадрат любого числа (1/2x — 1)² всегда неотрицателен, то есть (1/2x — 1)² ≥ 0.
Добавляя 7/4, получаем, что выражение всегда положительно: (1/2x — 1)² + 7/4 > 0.
Наименьшее значение достигается, когда (1/2x — 1)² = 0, то есть при 1/2x — 1 = 0.
Решаем уравнение: 1/2x — 1 = 0 ⇒ 1/2x = 1 ⇒ x = 0.
Подставляем x = 0: (1/2(0) — 1)² + 7/4 = (-1)² + 7/4 = 1 + 0 = 1.
Ответ: наименьшее значение равно 1 при x = 0.