Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 4.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что множество чисел вида 2ⁿ (n ∈ N) счётно.
Множество чисел вида 2ⁿ (n ∈ N) счётно, так как его элементы можно расположить в порядке возрастания и установить взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел.
Пример:
2 ↔ 1
4 ↔ 2
8 ↔ 3
16 ↔ 4
…
Таким образом, каждому числу 2ⁿ соответствует ровно одно натуральное число n, и наоборот.
Понимание задачи:
Нам нужно доказать, что множество чисел вида 2ⁿ, где n — натуральное число, является счётным. Это означает, что элементы множества можно занумеровать натуральными числами, установив взаимно однозначное соответствие.
Анализ множества:
Множество чисел вида 2ⁿ состоит из чисел:
2, 4, 8, 16, 32, …, 2ⁿ, где n — натуральное число.
Установление соответствия:
Пронумеруем элементы множества 2ⁿ в порядке возрастания:
Числу 2 соответствует номер 1 (2 = 2¹)
Числу 4 соответствует номер 2 (4 = 2²)
Числу 8 соответствует номер 3 (8 = 2³)
Числу 16 соответствует номер 4 (16 = 2⁴)
Числу 32 соответствует номер 5 (32 = 2⁵)
Числу 2ⁿ соответствует номер n (2ⁿ = 2ⁿ).
Таким образом, каждому числу 2ⁿ из множества соответствует ровно одно натуральное число n, и наоборот.
Доказательство счётности:
Так как между множеством чисел 2ⁿ и множеством натуральных чисел установлено взаимно однозначное соответствие, множество 2ⁿ является счётным.
Вывод:
Множество чисел вида 2ⁿ (n ∈ N) счётно, что и требовалось доказать.
