Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 4.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Установите взаимно однозначное соответствие между множеством чисел вида 2ⁿ (n ∈ N) и множеством десятичных дробей вида 0,1; 0,01; 0,001; … .
Множество чисел вида 2ⁿ и множество десятичных дробей вида 0,1; 0,01; 0,001; … счётны, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие:
- Числу 2 (2¹) соответствует дробь 0,1 (1 цифра после запятой).
- Числу 4 (2²) соответствует дробь 0,01 (2 цифры после запятой).
- Числу 8 (2³) соответствует дробь 0,001 (3 цифры после запятой).
- Числу 16 (2⁴) соответствует дробь 0,0001 (4 цифры после запятой).
- Числу 2ⁿ соответствует дробь 1/10ⁿ (n цифр после запятой).
Таким образом, каждому числу вида 2ⁿ соответствует ровно одна десятичная дробь вида 1/10ⁿ, и наоборот.
Понимание задачи:
Нам нужно установить взаимно однозначное соответствие между множеством чисел вида 2ⁿ (где n — натуральное число) и множеством десятичных дробей вида 0,1; 0,01; 0,001; … .
Анализ множеств:
Множество чисел вида 2ⁿ состоит из чисел: 2, 4, 8, 16, 32, …, где n — натуральное число.
Множество десятичных дробей вида 1/10ⁿ состоит из дробей: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …, где n — натуральное число.
Установление соответствия:
Рассмотрим следующую закономерность:
Числу 2 (2¹) соответствует дробь 0,1 (1 цифра после запятой).
Числу 4 (2²) соответствует дробь 0,01 (2 цифры после запятой).
Числу 8 (2³) соответствует дробь 0,001 (3 цифры после запятой).
Числу 16 (2⁴) соответствует дробь 0,0001 (4 цифры после запятой).
Числу 2ⁿ соответствует дробь 1/10ⁿ (n цифр после запятой).
Таким образом, каждому числу 2ⁿ из множества чисел вида 2ⁿ соответствует ровно одна десятичная дробь вида 1/10ⁿ, и наоборот.
Доказательство взаимно однозначного соответствия:
Так как каждому числу 2ⁿ соответствует ровно одна дробь 1/10ⁿ, и каждой дроби 1/10ⁿ соответствует ровно одно число 2ⁿ, между множествами чисел 2ⁿ и десятичных дробей вида 1/10ⁿ установлено взаимно однозначное соответствие.
Вывод:
Множество чисел вида 2ⁿ (n ∈ N) и множество десятичных дробей вида 1/10ⁿ (n ∈ N) счётны, так как между ними установлено взаимно однозначное соответствие.
