ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 4.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны.

Множества точек диагонали квадрата и одной из его сторон равномощны, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие:

• Каждой точке диагонали с координатами (x, x), где 0 ≤ x ≤ 1, соответствует точка на стороне квадрата с координатами (x, 0).
• Каждой точке на стороне с координатами (x, 0), где 0 ≤ x ≤ 1, соответствует точка диагонали с координатами (x, x).

Таким образом, каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, и наоборот.

1. Понимание задачи:
Нужно доказать, что множества точек диагонали квадрата и одной из его сторон имеют одинаковую мощность, то есть между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

2. Установление соответствия:
Рассмотрим квадрат с вершинами (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1).

Диагональ квадрата — это множество точек с координатами (x, x), где x принимает значения от 0 до 1 (включительно).

Одна из сторон квадрата, например нижняя сторона, — это множество точек с координатами (x, 0), где x принимает значения от 0 до 1 (включительно).

Установим соответствие:

Каждой точке диагонали с координатами (x, x) поставим в соответствие точку на стороне с координатами (x, 0).

Обратное соответствие: каждой точке на стороне с координатами (x, 0) поставим в соответствие точку диагонали с координатами (x, x).

3. Доказательство взаимно однозначного соответствия:

Каждой точке диагонали с координатами (x, x) соответствует ровно одна точка на стороне с координатами (x, 0).

Каждой точке на стороне с координатами (x, 0) соответствует ровно одна точка диагонали с координатами (x, x).

Таким образом, между множествами точек диагонали и стороны установлено взаимно однозначное соответствие.

4. Вывод:
Множества точек диагонали квадрата и одной из его сторон равномощны.