Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 5.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что:
- ¬¬A = A;
- A ∧ A = A;
- A ∨ A = A;
- A ∨ B = B ∨ A;
- A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C;
- A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C);
- A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C);
- ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B;
- ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B;
- (A → B) = ¬B → ¬A;
- A ⇔ B = (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B).
- ¬¬A = A, так как двойное отрицание возвращает исходное значение.
- A ∧ A = A, так как пересечение с самим собой не изменяет значение.
- A ∨ A = A, так как объединение с самим собой не изменяет значение.
- A ∨ B = B ∨ A, так как операция дизъюнкции коммутативна.
- A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C, так как операция дизъюнкции ассоциативна.
- A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), по дистрибутивному закону.
- A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C), по дистрибутивному закону.
- ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B, по закону де Моргана.
- ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B, по закону де Моргана.
- (A → B) = ¬B → ¬A, по закону контрапозиции.
- A ⇔ B = (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B), по определению эквивалентности.
1. ¬¬A = A
Двойное отрицание возвращает исходное значение переменной. Таблица истинности:
| A | ¬A | ¬¬A | ¬¬A = A |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
2. A ∧ A = A
Конъюнкция переменной с самой собой равна этой переменной. Таблица истинности:
| A | A ∧ A | A ∧ A = A |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
3. A ∨ A = A
Дизъюнкция переменной с самой собой равна этой переменной. Таблица истинности:
| A | A ∨ A | A ∨ A = A |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
4. A ∨ B = B ∨ A
Дизъюнкция коммутативна, порядок операндов не влияет на результат. Таблица истинности:
| A | B | A ∨ B | B ∨ A | A ∨ B = B ∨ A |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
5. A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C
Ассоциативность дизъюнкции позволяет менять группировку. Таблица истинности:
