ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 6.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Обоснуйте равносильность уравнений:

1. 4x — 8 = x + 3 и 4x — x = 8 + 3;
2. x² — 1 = 3 и x² + 5 = 9;
3. (3x — 5)/2 — x/6 = 1 и 9x — 15 — x = 6;
4. (2x + 1)(x² + 1) = 3(x² + 1) и 2x + 1 = 3.

1. Уравнения равносильны, так как преобразования не изменяют множество решений.
2. Уравнения равносильны, так как добавление одинакового числа к обеим частям уравнения не изменяет его решение.
3. Уравнения равносильны, так как приведение к общему знаменателю и умножение на него не изменяет множество решений.
4. Уравнения равносильны, так как деление обеих частей уравнения на общий множитель не изменяет множество решений.

1. 4x — 8 = x + 3 и 4x — x = 8 + 3
Рассмотрим первое уравнение:
4x — 8 = x + 3.
Перенесем x и 3 в одну сторону:
4x — x = 8 + 3.
Получим второе уравнение:
4x — x = 8 + 3.

Обе записи представляют одно и то же уравнение, поэтому они равносильны. Решение уравнения:
4x — x = 11 → 3x = 11 → x = 11/3.

2. x² — 1 = 3 и x² + 5 = 9
Рассмотрим первое уравнение:
x² — 1 = 3.
Добавим 6 к обеим частям:
x² — 1 + 6 = 3 + 6.
Получим второе уравнение:
x² + 5 = 9.

Преобразование не изменяет множество решений, поэтому уравнения равносильны. Решение уравнения:
x² = 9 → x = ±3.

3. (3x — 5)/2 — x/6 = 1 и 9x — 15 — x = 6
Рассмотрим первое уравнение:
(3x — 5)/2 — x/6 = 1.
Приведем к общему знаменателю:
6((3x — 5)/2) — 6(x/6) = 6.
Получим:
3(3x — 5) — x = 6.
Раскроем скобки:
9x — 15 — x = 6.

Преобразование не изменяет множество решений, поэтому уравнения равносильны. Решение уравнения:
8x — 15 = 6 → 8x = 21 → x = 21/8.

4. (2x + 1)(x² + 1) = 3(x² + 1) и 2x + 1 = 3
Рассмотрим первое уравнение:
(2x + 1)(x² + 1) = 3(x² + 1).
Разделим обе части на (x² + 1), предполагая, что x² + 1 ≠ 0:
2x + 1 = 3.

Преобразование не изменяет множество решений, поэтому уравнения равносильны. Решение уравнения:
2x + 1 = 3 → 2x = 2 → x = 1.