ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 6.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Как может измениться (расшириться или сузиться) множество корней данного уравнения, если:

1. уравнение (|x| + 3)f(x) = 2|x| + 6 заменить на уравнение f(x) = 2;
2. уравнение f(x)/(x² + 1) = 0 заменить на уравнение f(x) = 0;
3. уравнение (x + 1)f(x) = x + 1 заменить на уравнение f(x) = 1;
4. уравнение f(x)/(x + 1) = g(x)/(x + 1) заменить на уравнение f(x) = g(x);
5. уравнение f(x) = g(x) заменить на уравнение (x + 1)f(x) = (x + 1)g(x).

1. Множество корней не изменится.
2. Множество корней не изменится.
3. Множество корней может расшириться.
4. Множество корней может расшириться.
5. Множество корней может сузиться.

1. Уравнение (|x| + 3)f(x) = 2|x| + 6 заменить на уравнение f(x) = 2
Делим обе части уравнения на |x| + 3 (при |x| + 3 ≠ 0):
f(x) = (2|x| + 6)/(|x| + 3).

Заметим, что (2|x| + 6)/(|x| + 3) = 2 для любого значения x, так как числитель пропорционален знаменателю.
Следовательно, уравнение (|x| + 3)f(x) = 2|x| + 6 равносильно уравнению f(x) = 2.

Вывод: множество корней не изменится.

2. Уравнение f(x)/(x² + 1) = 0 заменить на уравнение f(x) = 0
Уравнение f(x)/(x² + 1) = 0 определено для всех значений x, так как x² + 1 > 0 всегда.
Условие равенства дроби нулю выполняется, если f(x) = 0.

Следовательно, уравнение f(x)/(x² + 1) = 0 равносильно уравнению f(x) = 0.

Вывод: множество корней не изменится.

3. Уравнение (x + 1)f(x) = x + 1 заменить на уравнение f(x) = 1
Делим обе части уравнения на x + 1 (при x ≠ -1):
f(x) = 1.

При x = -1 левая часть уравнения равна 0, а правая часть равна -1. Следовательно, x = -1 не является решением исходного уравнения.

Уравнение f(x) = 1 имеет больше решений, так как оно определено для всех x.

Вывод: множество корней может расшириться.

4. Уравнение f(x)/(x + 1) = g(x)/(x + 1) заменить на уравнение f(x) = g(x)
Делим обе части уравнения на x + 1 (при x ≠ -1):
f(x) = g(x).

При x = -1 уравнение f(x)/(x + 1) = g(x)/(x + 1) не определено, а уравнение f(x) = g(x) определено.

Вывод: множество корней может расшириться.

5. Уравнение f(x) = g(x) заменить на уравнение (x + 1)f(x) = (x + 1)g(x)
Умножаем обе части уравнения на x + 1:
(x + 1)f(x) = (x + 1)g(x).

При x = -1 левая и правая части равны 0, независимо от значений f(x) и g(x). Это добавляет решение x = -1.

Вывод: множество корней может сузиться.