ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 8.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если:

1. 2 < a < 3, то 1/(a — 2) > 1;
2. -3 < a < -1, то 1/(a + 1) < -1/2.

1) Из неравенства 2 < a < 3 вычитаем 2, получаем: 0 < a — 2 < 1.

Поскольку 1/(a — 2) > 0, берём обратные значения и получаем: 1/(a — 2) > 1.

2) Из неравенства -3 < a < -1 прибавляем 1, получаем: -2 < a + 1 < 0.

Поскольку 1/(a + 1) < 0, берём обратные значения и умножаем на -1/2, получаем: 1/(a + 1) < -1/2.

1. Докажем, что если 2 < a < 3, то 1/(a — 2) > 1:

• Начнём с неравенства 2 < a < 3.
• Вычтем 2 из всех частей неравенства:
  2 — 2 < a — 2 < 3 — 2,
  что даёт 0 < a — 2 < 1.
• Теперь возьмём обратные значения всех частей неравенства. Поскольку a — 2 > 0, знак неравенства сохраняется:
  1 > 1/(a — 2) > 1.
• Это означает, что 1/(a — 2) > 1.

Ответ: доказано, что 1/(a — 2) > 1.

2. Докажем, что если -3 < a < -1, то 1/(a + 1) < -1/2:

• Начнём с неравенства -3 < a < -1.
• Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
  -3 + 1 < a + 1 < -1 + 1,
  что даёт -2 < a + 1 < 0.
• Теперь возьмём обратные значения всех частей неравенства. Поскольку a + 1 < 0, знак неравенства меняется:
  0 > 1/(a + 1) > -1/2.
• Умножим все части на -1/2 (умножение на отрицательное число меняет знак неравенства):
  1/(a + 1) < -1/2.

Ответ: доказано, что 1/(a + 1) < -1/2.

Выводы:

1. Доказано, что 1/(a — 2) > 1 для 2 < a < 3.
2. Доказано, что 1/(a + 1) < -1/2 для -3 < a < -1.