ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 9.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сократить дробь:
(x⁷¹ + x⁷⁰ + … + x + 1) / (x²³ + x²² + … + x + 1).

1. В числителе и знаменателе — суммы степеней x.
2. Разделим числитель и знаменатель на общий множитель (x — 1):
   (x⁷¹ + x⁷⁰ + … + x + 1) = (x — 1)(x⁷⁰ + x⁶⁹ + … + x + 1),
   (x²³ + x²² + … + x + 1) = (x — 1)(x²² + x²¹ + … + x + 1).
3. Сокращаем на (x — 1):
   (x⁷¹ + x⁷⁰ + … + x + 1) / (x²³ + x²² + … + x + 1) = (x²⁴ — 1)(x⁴⁸ + x²⁴ + 1) / (x²⁴ — 1).
4. Сокращаем на (x²⁴ — 1):
   Ответ: x⁴⁸ + x²⁴ + 1.

Представим числитель и знаменатель в виде многочленов:
Числитель: x⁷¹ + x⁷⁰ + x⁶⁹ + … + x + 1.
Знаменатель: x²³ + x²² + x²¹ + … + x + 1.

Разложим многочлены на множители:
Оба многочлена можно представить через деление на (x — 1):

Числитель:
x⁷¹ + x⁷⁰ + … + x + 1 = (x — 1)(x⁷⁰ + x⁶⁹ + … + x + 1).

Знаменатель:
x²³ + x²² + … + x + 1 = (x — 1)(x²² + x²¹ + … + x + 1).

Сократим общий множитель (x — 1):
После сокращения остается:
(x⁷⁰ + x⁶⁹ + … + x + 1) / (x²² + x²¹ + … + x + 1).

Заметим, что числитель и знаменатель можно связать через степени x:
Выражение в числителе является суммой геометрической прогрессии с первым членом 1, знаменателем x и количеством членов 71. Аналогично знаменатель — сумма геометрической прогрессии с количеством членов 23.

Упростим с использованием формулы для суммы геометрической прогрессии:
Сумма первых n членов геометрической прогрессии:
S = (xⁿ — 1) / (x — 1).
Тогда:

Числитель: (x⁷² — 1) / (x — 1).

Знаменатель: (x²⁴ — 1) / (x — 1).

Сократим дробь:
(x⁷² — 1) / (x²⁴ — 1).

Разложим на множители разности квадратов:
x⁷² — 1 = (x²⁴)³ — 1³ = (x²⁴ — 1)((x²⁴)² + x²⁴ + 1).
Знаменатель: x²⁴ — 1.

Сокращаем на (x²⁴ — 1):
Остается:
x⁴⁸ + x²⁴ + 1.

Ответ:
x⁴⁸ + x²⁴ + 1.