Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
Преимущества учебника:
- Понятное изложение теории
Авторы уделяют большое внимание теоретической части. Каждый новый параграф начинается с доступного объяснения темы, которое сопровождается примерами и иллюстрациями. Это помогает ученикам лучше понять материал, даже если тема кажется сложной на первый взгляд. - Разнообразие задач
Учебник предлагает широкий выбор заданий разного уровня сложности: от базовых упражнений для закрепления материала до задач повышенной трудности для углублённого изучения. Это делает пособие универсальным как для учеников с базовым уровнем подготовки, так и для тех, кто стремится к высоким результатам. - Практическая направленность
Многие задачи связаны с реальными жизненными ситуациями, что позволяет ученикам понять, как алгебра применяется на практике. Это не только делает обучение интересным, но и помогает развивать прикладное мышление. - Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные задания и тесты для самопроверки. Также в учебнике есть полезные таблицы и формулы, которые помогают систематизировать знания. - Поддержка учителей и родителей
Учебник удобен не только для учеников, но и для учителей, так как он содержит методические рекомендации по проведению уроков. Родители также могут использовать его для помощи своим детям в выполнении домашних заданий.
Учебник «Алгебра, 8 класс» Мерзляка и Полякова — это отличный инструмент для изучения математики, который сочетает в себе доступность, логичность и практическую направленность. Он помогает школьникам не только освоить алгебру, но и развить логическое мышление и умение решать задачи разного уровня сложности. Этот учебник по праву занимает лидирующие позиции среди пособий для 8-го класса.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 9.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Сократить дробь:
(x⁷¹ + x⁷⁰ + … + x + 1) / (x²³ + x²² + … + x + 1).
- В числителе и знаменателе — суммы степеней x.
- Разделим числитель и знаменатель на общий множитель (x — 1):
(x⁷¹ + x⁷⁰ + … + x + 1) = (x — 1)(x⁷⁰ + x⁶⁹ + … + x + 1),
(x²³ + x²² + … + x + 1) = (x — 1)(x²² + x²¹ + … + x + 1). - Сокращаем на (x — 1):
(x⁷¹ + x⁷⁰ + … + x + 1) / (x²³ + x²² + … + x + 1) = (x²⁴ — 1)(x⁴⁸ + x²⁴ + 1) / (x²⁴ — 1). - Сокращаем на (x²⁴ — 1):
Ответ: x⁴⁸ + x²⁴ + 1.
Представим числитель и знаменатель в виде многочленов:
Числитель: x⁷¹ + x⁷⁰ + x⁶⁹ + … + x + 1.
Знаменатель: x²³ + x²² + x²¹ + … + x + 1.
Разложим многочлены на множители:
Оба многочлена можно представить через деление на (x — 1):
Числитель:
x⁷¹ + x⁷⁰ + … + x + 1 = (x — 1)(x⁷⁰ + x⁶⁹ + … + x + 1).
Знаменатель:
x²³ + x²² + … + x + 1 = (x — 1)(x²² + x²¹ + … + x + 1).
Сократим общий множитель (x — 1):
После сокращения остается:
(x⁷⁰ + x⁶⁹ + … + x + 1) / (x²² + x²¹ + … + x + 1).
Заметим, что числитель и знаменатель можно связать через степени x:
Выражение в числителе является суммой геометрической прогрессии с первым членом 1, знаменателем x и количеством членов 71. Аналогично знаменатель — сумма геометрической прогрессии с количеством членов 23.
Упростим с использованием формулы для суммы геометрической прогрессии:
Сумма первых n членов геометрической прогрессии:
S = (xⁿ — 1) / (x — 1).
Тогда:
Числитель: (x⁷² — 1) / (x — 1).
Знаменатель: (x²⁴ — 1) / (x — 1).
Сократим дробь:
(x⁷² — 1) / (x²⁴ — 1).
Разложим на множители разности квадратов:
x⁷² — 1 = (x²⁴)³ — 1³ = (x²⁴ — 1)((x²⁴)² + x²⁴ + 1).
Знаменатель: x²⁴ — 1.
Сокращаем на (x²⁴ — 1):
Остается:
x⁴⁸ + x²⁴ + 1.
Ответ:
x⁴⁸ + x²⁴ + 1.
Алгебра
