ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 1 Номер 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Докажите неравенство \((x — 4)(x + 9) > (x + 12)(x — 7)\).

2. Известно, что \(3 < x < 8\), \(2 < y < 6\). Оцените значение выражения: 1) \(2x + y\); 2) \(xy\); 3) \(x — y\).

3. Решите неравенство: 1) \(2x^2 — 14\); 2) \(3x — 8 < 4(2x — 3)\). 4. Решите систему неравенств: 1) \(6x — 24 > 0\), \(1 — 2x + 12 < 0\); 2) \(2x + 7 < 19\), \(30 — 8x < 6\).

5. Найдите множество решений неравенства: 1) \(2x^3 — 441 < -1\); 2) \(5x + 2 < 4(2x — 1) — 3x\). 6. Найдите целые решения системы неравенств \(\{2(3x — 4) \geq 4(x + 1) — 3, x(x — 4) — (x + 8)(x — 5) > -5\}\).

7. При каких значениях переменной имеет смысл выражение \(\sqrt{3x — 9} + 1 + \sqrt{40 — 5x}\)?

8. Докажите неравенство \(10x^2 — 6xy + y^2 — 4x + 6 > 0\).

Доказать неравенство:
\((x-4)(x+9) > (x+12)(x-7);\)
Разность левой и правой части:
\((x-4)(x+9) — (x+12)(x-7) =\)
\(= (x^2 + 9x — 4x — 36) — (x^2 — 7x + 12x — 84) =\)
\(= (x^2 + 5x — 36) — (x^2 + 5x — 84) = -36 + 84 = 48 > 0;\)
Что и требовалось доказать.

2.
Известно, что \(3 < x < 8, 2 < y < 6\), оценить значение выражения:
1) \(2x + y;\)
\(3 \cdot 2 < 2x < 8 \cdot 2;\)
\(6 < 2x < 16;\)
\(6 + 2 < 2x + y < 16 + 6;\)
\(8 < 2x + y < 22;\)
2) \(xy;\)
\(3 \cdot 2 < xy < 8 \cdot 6;\)
\(6 < xy < 48;\)
3) \(x — y;\)
\(-6 < -y < -2;\)
\(3 — 6 < x — y < 8 — 2;\)
\(-3 < x — y < 6;\)

Решить неравенство:
1) \(\frac{2}{7}x \geq -14;\)
\(x \geq -14 \cdot \frac{7}{2};\)
\(x \geq -7 \cdot 7;\)
\(x \geq -49;\)
Ответ: \(x \in [-49; +\infty).\)

2) \(3x — 8 < 4(2x — 3);\)
\(3x — 8 < 8x — 12;\)
\(8x — 3x > -8 + 12;\)
\(5x > 4;\)
\(x > \frac{4}{5};\)
\(x > 0,8;\)
Ответ: \(x \in (0,8; +\infty).\)

4.
Решить систему неравенств:
1)
\(\begin{cases} 6x — 24 > 0 \\ 28 + 12 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x — 4 > 0 \\ 6 — x < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 4 \\ x > 6 \end{cases} \Rightarrow x > 6;\)
Ответ: \(x \in (6; +\infty).\)

2)
\(\begin{cases} 2x + 7 < 19 \\ 30 — 8x < 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x < 12 \\ -8x < -24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 6 \\ x > 3 \end{cases} \Rightarrow 3 < x < 6;\)
Ответ: \(x \in (3; 6).\)

Найти множество решений неравенства:
1) \(\frac{2x + 3}{3} — \frac{x + 1}{4} < -1 \quad | \cdot 12;\)
\(4(2x + 3) — 3(x + 1) < -12;\)
\(8x + 12 — 3x — 3 < -12;\)
\(5x + 9 < -12;\)
\(5x < -21;\)
\(x < -\frac{21}{5};\)
\(x < -4,2;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -4,2).\)

2) \(5x + 2 < 4(2x — 1) — 3x;\)
\(5x + 2 < 8x — 4 — 3x;\)
\(5x + 2 < 5x — 4;\)
\(5x — 5x < -4 — 2;\)
\(0x < -6;\)
Ответ: \(x \in \emptyset.\)

Найти целые решения системы неравенств:
\(\begin{cases} 2(3x — 4) \geq 4(x + 1) — 3 \\ x(x — 4) — (x + 3)(x — 5) > -5 \end{cases};\)

1) Первое неравенство:
\(2(3x — 4) \geq 4(x + 1) — 3;\)
\(6x — 8 \geq 4x + 4 — 3;\)
\(6x — 4x \geq 4 — 3 + 8;\)
\(2x \geq 9;\)
\(x \geq \frac{9}{2};\)
\(x \geq 4,5;\)

2) Второе неравенство:
\(x(x — 4) — (x + 3)(x — 5) > -5;\)
\(x^2 — 4x — (x^2 — 5x + 3x — 15) > -5;\)
\(-4x — (-2x — 15) > -5;\)
\(-4x + 2x + 15 > -5;\)
\(-2x > -20;\)
\(x < \frac{-20}{-2};\)
\(x < 10;\)

Ответ: \(5; 6; 7; 8; 9.\)

7.
При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
\(\sqrt{3x — 9} + \frac{1}{\sqrt{40 — 5x}};\)

1) Выражение имеет смысл при:
\(3x — 9 \geq 0;\)
\(3x \geq 9;\)
\(x \geq \frac{9}{3};\)
\(x \geq 3;\)

2) Выражение имеет смысл при:
\(40 — 5x > 0;\)
\(40 > 5x;\)
\(x < \frac{40}{5};\)
\(x < 8;\)

Ответ: \(x \in [3; 8).\)

8.
Доказать неравенство:
\(10x^2 — 6xy + y^2 — 4x + 6 > 0;\)
\((9x^2 — 6xy + y^2) + (x^2 — 4x + 4) + 2 > 0;\)
\((3x — y)^2 + (x — 2)^2 + 2 > 0;\)
Верно: \((3x — y)^2 \geq 0, (x — 2)^2 \geq 0, 2 > 0;\)
Что и требовалось доказать.

Доказать неравенство:
Рассмотрим выражение \((x-4)(x+9)\) и выражение \((x+12)(x-7)\). Чтобы доказать неравенство \((x-4)(x+9) > (x+12)(x-7)\), нужно исследовать разность этих двух выражений и показать, что она всегда положительна. Разность равна
\((x-4)(x+9) — (x+12)(x-7)\).
Раскроем скобки в обеих частях:
\((x-4)(x+9) = x^2 + 9x — 4x — 36 = x^2 + 5x — 36\),
\((x+12)(x-7) = x^2 — 7x + 12x — 84 = x^2 + 5x — 84\).
Теперь вычислим разность:
\((x^2 + 5x — 36) — (x^2 + 5x — 84) = x^2 + 5x — 36 — x^2 — 5x + 84 = -36 +\)
\(+ 84 = 48\).
Получаем, что разность равна 48, что строго больше нуля. Это значит, что для любого значения \(x\) выражение \((x-4)(x+9)\) больше, чем \((x+12)(x-7)\). Таким образом, неравенство доказано.

2.
Дано, что \(3 < x < 8\) и \(2 < y < 6\). Нужно оценить значения выражений:
1) \(2x + y\).
Для начала найдем границы для \(2x\). Умножая неравенство \(3 < x < 8\) на 2, получаем \(6 < 2x < 16\). Поскольку \(y\) находится между 2 и 6, то сумма \(2x + y\) будет находиться между минимальной суммой \(6 + 2 = 8\) и максимальной суммой \(16 + 6 = 22\). Значит, \(8 < 2x + y < 22\).

2) \(xy\).
Перемножим границы для \(x\) и \(y\). Минимальное значение будет \(3 \cdot 2 = 6\), максимальное \(8 \cdot 6 = 48\). Следовательно, \(6 < xy < 48\).

3) \(x — y\).
Для \(y\) имеем \(2 < y < 6\), значит \(-6 < -y < -2\). Складываем с \(x\), где \(3 < x < 8\):
\(3 — 6 < x — y < 8 — 2\), то есть \(-3 < x — y < 6\).

Решить неравенство:
1) \(\frac{2}{7}x \geq -14\).
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 7:
\(2x \geq -14 \cdot 7\), то есть \(2x \geq -98\). Далее разделим обе части на 2:
\(x \geq -49\).
Ответ: \(x \in [-49; +\infty)\).

2) \(3x — 8 < 4(2x — 3)\).
Раскроем скобки справа:
\(3x — 8 < 8x — 12\).
Переносим \(3x\) в правую часть и \(-12\) в левую:
\(-8 + 12 < 8x — 3x\),
\(4 < 5x\),
Делим обе части на 5:
\(x > \frac{4}{5}\),
то есть \(x > 0,8\).
Ответ: \(x \in (0,8; +\infty)\).

4.
Решить систему неравенств:
1)
\(\begin{cases} 6x — 24 > 0 \\ 28 + 12 < 0 \end{cases}\)
Перепишем систему:
\(\begin{cases} x — 4 > 0 \\ 6 — x < 0 \end{cases}\)
Первое неравенство даёт \(x > 4\), второе — \(x > 6\). Пересечение решений — \(x > 6\).
Ответ: \(x \in (6; +\infty)\).

2)
\(\begin{cases} 2x + 7 < 19 \\ 30 — 8x < 6 \end{cases}\)
Преобразуем каждое:
\(2x < 12\),
\(-8x < -24\), что эквивалентно \(x > 3\).
Пересечение: \(3 < x < 6\).
Ответ: \(x \in (3; 6)\).

Найти множество решений неравенства:
1) \(\frac{2x + 3}{3} — \frac{x + 1}{4} < -1\).
Домножим на 12:
\(4(2x + 3) — 3(x + 1) < -12\),
\(8x + 12 — 3x — 3 < -12\),
\(5x + 9 < -12\),
\(5x < -21\),
\(x < -\frac{21}{5}\),
то есть \(x < -4,2\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -4,2)\).

2) \(5x + 2 < 4(2x — 1) — 3x\).
Раскроем скобки:
\(5x + 2 < 8x — 4 — 3x\),
\(5x + 2 < 5x — 4\),
Вычтем \(5x\) из обеих частей:
\(2 < -4\), что неверно, значит решений нет.
Ответ: \(x \in \emptyset\).

Найти целые решения системы неравенств:
\(\begin{cases} 2(3x — 4) \geq 4(x + 1) — 3 \\ x(x — 4) — (x + 3)(x — 5) > -5 \end{cases}\)

1) Первое неравенство:
\(6x — 8 \geq 4x + 4 — 3\),
\(6x — 4x \geq 4 — 3 + 8\),
\(2x \geq 9\),
\(x \geq \frac{9}{2} = 4,5\).

2) Второе неравенство:
\(x^2 — 4x — (x^2 — 5x + 3x — 15) > -5\),
\(-4x — (-2x — 15) > -5\),
\(-4x + 2x + 15 > -5\),
\(-2x > -20\),
\(x < 10\).

Пересечение: \(4,5 \leq x < 10\). Целые \(x\) — \(5, 6, 7, 8, 9\).

7.
При каких значениях переменной имеет смысл выражение
\(\sqrt{3x — 9} + \frac{1}{\sqrt{40 — 5x}}\)?

1) Корень \(\sqrt{3x — 9}\) существует, если подкоренное выражение неотрицательно:
\(3x — 9 \geq 0\),
\(3x \geq 9\),
\(x \geq 3\).

2) Знаменатель \(\sqrt{40 — 5x}\) не равен нулю и подкоренное выражение положительно:
\(40 — 5x > 0\),
\(40 > 5x\),
\(x < 8\).

Ответ: \(x \in [3; 8)\).

8.
Доказать неравенство
\(10x^2 — 6xy + y^2 — 4x + 6 > 0\).
Перепишем левую часть в виде суммы квадратов:
\((9x^2 — 6xy + y^2) + (x^2 — 4x + 4) + 2 > 0\).
Это можно представить как
\((3x — y)^2 + (x — 2)^2 + 2 > 0\).
Квадрат любого выражения неотрицателен:
\((3x — y)^2 \geq 0\),
\((x — 2)^2 \geq 0\),
а \(2 > 0\) — константа.
Сумма трёх положительных или нулевых чисел больше нуля, значит исходное неравенство верно для всех \(x, y\).
Что и требовалось доказать.