ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 1 Номер 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Докажите неравенство \((x — 4)(x + 9) > (x + 12)(x — 7)\).

2. Известно, что \(3 < x < 8\), \(2 < y < 6\). Оцените значение выражения: 1) \(2x + y\); 2) \(xy\); 3) \(x — y\).

3. Решите неравенство: 1) \(2x^2 — 14\); 2) \(3x — 8 < 4(2x — 3)\). 4. Решите систему неравенств: 1) \(6x — 24 > 0\), \(1 — 2x + 12 < 0\); 2) \(2x + 7 < 19\), \(30 — 8x < 6\).

5. Найдите множество решений неравенства: 1) \(2x^3 — 441 < -1\); 2) \(5x + 2 < 4(2x — 1) — 3x\). 6. Найдите целые решения системы неравенств \(\{2(3x — 4) \geq 4(x + 1) — 3, x(x — 4) — (x + 8)(x — 5) > -5\}\).

7. При каких значениях переменной имеет смысл выражение \(\sqrt{3x — 9} + 1 + \sqrt{40 — 5x}\)?

8. Докажите неравенство \(10x^2 — 6xy + y^2 — 4x + 6 > 0\).

1. Неравенство \((x — 4)(x + 9) > (x + 12)(x — 7)\) доказано, так как разность левой и правой части равна 48, что больше 0 для всех \(x\).

2. Для \(3 < x < 8\), \(2 < y < 6\):
— \(2x + y\): от 8 до 22, так как минимальное \(2x + y = 6 + 2\), максимальное \(16 + 6\).
— \(xy\): от 6 до 48, так как минимальное \(3 \cdot 2\), максимальное \(8 \cdot 6\).
— \(x — y\): от \(-3\) до 6, так как минимальное \(3 — 6\), максимальное \(8 — 2\).

3. Неравенства:
— \(2x^2 — 14 \geq 0\): \(x^2 \geq 7\), решение \(x \leq -\sqrt{7}\) или \(x \geq \sqrt{7}\).
— \(3x — 8 < 4(2x — 3)\): упрощение дает \(x > 0.8\).

4. Системы неравенств:
— \(6x — 24 > 0\), \(1 — 2x + 12 < 0\): \(x > 4\) и \(x > 6.5\), итог \(x > 6.5\).
— \(2x + 7 < 19\), \(30 — 8x < 6\): \(x < 6\) и \(x > 3\), итог \(3 < x < 6\).

5. Неравенства:
— \(2x^3 — 441 < -1\): \(x^3 < 220\), решение \(x < \sqrt[3]{220} \approx 6.04\).
— \(5x + 2 < 4(2x — 1) — 3x\): упрощение приводит к \(2 < -4\), решений нет (\(\emptyset\)).

6. Система \(2(3x — 4) \geq 4(x + 1) — 3\), \(x(x — 4) — (x + 8)(x — 5) > -5\): первое дает \(x \geq 4.5\), второе \(x < 6.43\), целые решения \(x = 5, 6\).

7. Выражение \(\sqrt{3x — 9} + 1 + \sqrt{40 — 5x}\) имеет смысл при \(3x — 9 \geq 0\) и \(40 — 5x \geq 0\), то есть \(x \geq 3\) и \(x \leq 8\), итог \(x \in [3; 8]\).

8. Неравенство \(10x^2 — 6xy + y^2 — 4x + 6 > 0\) доказано, так как оно преобразуется в \((3x — y)^2 + (x — 2)^2 + 2\), что всегда больше 0.

1. Доказательство неравенства \((x — 4)(x + 9) > (x + 12)(x — 7)\). Для решения раскроем скобки с обеих сторон. Левая часть: \((x — 4)(x + 9) = x^2 + 9x — 4x — 36 = x^2 + 5x — 36\). Правая часть: \((x + 12)(x — 7) = x^2 — 7x + 12x — 84 = x^2 + 5x — 84\). Теперь вычтем правую часть из левой: \((x^2 + 5x — 36) — (x^2 + 5x — 84) = -36 + 84 = 48\). Поскольку 48 больше 0, левая часть всегда больше правой на 48 для любых значений \(x\). Таким образом, неравенство доказано.

2. Оценка выражений при \(3 < x < 8\), \(2 < y < 6\). Рассмотрим три выражения по очереди. Первое выражение \(2x + y\): минимальное значение \(2x\) равно \(2 \cdot 3 = 6\), максимальное \(2 \cdot 8 = 16\), а для \(y\) минимальное 2, максимальное 6. Итог: минимальное значение \(6 + 2 = 8\), максимальное \(16 + 6 = 22\), то есть \(8 < 2x + y < 22\). Второе выражение \(xy\): минимальное значение \(3 \cdot 2 = 6\), максимальное \(8 \cdot 6 = 48\), то есть \(6 < xy < 48\). Третье выражение \(x — y\): минимальное значение \(3 — 6 = -3\), максимальное \(8 — 2 = 6\), то есть \(-3 < x — y < 6\).

3. Решение неравенств. Первое неравенство \(2x^2 — 14 \geq 0\). Упростим: \(2x^2 \geq 14\), делим на 2, получаем \(x^2 \geq 7\). Решение: \(x \leq -\sqrt{7}\) или \(x \geq \sqrt{7}\). Второе неравенство \(3x — 8 < 4(2x — 3)\). Раскроем скобки: \(3x — 8 < 8x — 12\). Перенесем члены: \(3x — 8x < -12 + 8\), то есть \(-5x < -4\). Делим на \(-5\), меняя знак: \(x > 0.8\).

4. Решение систем неравенств. Первая система: \(6x — 24 > 0\), \(1 — 2x + 12 < 0\). Первое неравенство дает \(6x > 24\), то есть \(x > 4\). Второе: \(13 — 2x < 0\), то есть \(2x > 13\), \(x > 6.5\). Пересечение: \(x > 6.5\). Вторая система: \(2x + 7 < 19\), \(30 — 8x < 6\). Первое неравенство: \(2x < 12\), \(x < 6\). Второе: \(-8x < -24\), \(x > 3\). Пересечение: \(3 < x < 6\).

5. Нахождение множества решений неравенств. Первое неравенство \(2x^3 — 441 < -1\). Упростим: \(2x^3 < 440\), \(x^3 < 220\). Извлечем кубический корень: \(x < \sqrt[3]{220} \approx 6.04\). Второе неравенство \(5x + 2 < 4(2x — 1) — 3x\). Раскроем скобки: \(5x + 2 < 8x — 4 — 3x\), упростим: \(5x + 2 < 5x — 4\). Вычтем \(5x\): \(2 < -4\), что неверно. Решений нет (\(\emptyset\)).

6. Нахождение целых решений системы неравенств \(2(3x — 4) \geq 4(x + 1) — 3\), \(x(x — 4) — (x + 8)(x — 5) > -5\). Первое неравенство: \(6x — 8 \geq 4x + 4 — 3\), \(6x — 8 \geq 4x + 1\), \(2x \geq 9\), \(x \geq 4.5\). Второе: раскроем \(x^2 — 4x — (x^2 + 3x — 40) > -5\), упростим: \(-7x + 40 > -5\), \(-7x > -45\), \(x < 6.43\). Пересечение: \(4.5 \leq x < 6.43\). Целые значения: \(x = 5, 6\).

7. Определение значений \(x\), при которых имеет смысл выражение \(\sqrt{3x — 9} + 1 + \sqrt{40 — 5x}\). Для первого корня: \(3x — 9 \geq 0\), \(x \geq 3\). Для второго: \(40 — 5x \geq 0\), \(x \leq 8\). Пересечение: \(x \in [3; 8]\).

8. Доказательство неравенства \(10x^2 — 6xy + y^2 — 4x + 6 > 0\). Перегруппируем: \(10x^2 — 6xy + y^2 — 4x + 6 = (9x^2 — 6xy + y^2) + (x^2 — 4x + 4) + 2 =\)
\(= (3x — y)^2 + (x — 2)^2 + 2\). Поскольку \((3x — y)^2 \geq 0\), \((x — 2)^2 \geq 0\), и 2 больше 0, сумма всегда положительна. Неравенство доказано.