ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 1 Номер 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Функция задана формулой \(f(x) = x^2 + 3x\). Найдите: 1) \(f(2)\) и \(f(-1)\); 2) нули функции.

2. Найдите область определения функции: 1) \(f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 10x + 24}\); 2) \(f(x) = \sqrt{x + 5} + x^2 — 4\).

3. Постройте график функции \(f(x) = x^2 + 2x — 3\). Используя график, найдите: 1) область значений данной функции; 2) промежуток возрастания функции; 3) множество решений неравенства \(f(x) > 0\).

4. Постройте график функции: 1) \(f(x) = \sqrt{x — 3}\); 2) \(f(x) = \sqrt{x — 3}\).

5. При каких значениях \(p\) и \(q\) вершина параболы \(y = x^2 + px + q\) находится в точке \(A(-4; 6)\)?

1. Функция задана формулой \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x \), найти:

1) Значения функции:
\( f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 6 = 2 + 6 = 8; \)
\( f(-1) = \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) = 0,5 — 3 = -2,5; \)
Ответ: 8; -2,5.

2) Нули функции:
\( 0,5x^2 + 3x = 0 \quad | \cdot 2; \)
\( x^2 + 6x = 0; \)
\( (x + 6)x = 0; \)
\( x_1 = -6 \) и \( x_2 = 0; \)
Ответ: -6; 0.

2. Область определения:
1) \(f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 10x + 24}\), знаменатель не равен нулю: \(x^2 — 10x + 24 = 0\), дискриминант \(D = 100 — 96 = 4\), корни \(x = 4\), \(x = 6\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 4) \cup (4; 6) \cup (6; +\infty)\).
2) \(f(x) = \sqrt{x + 5} + x^2 — 4\), подкоренное выражение неотрицательно: \(x + 5 \geq 0\), \(x \geq -5\), и \(x^2 — 4 \neq 0\), \(x \neq \pm 2\).
Ответ: \(x \in [-5; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\).

3. График функции \(f(x) = x^2 + 2x — 3\):

Вершина параболы: \(x_0 = -\frac{2}{2} = -1\), \(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 3 = 1 — 2 — 3 = -4\).
1) Область значений: \([-4; +\infty)\).
2) Промежуток возрастания: \([-1; +\infty)\).
3) Множество решений \(f(x) > 0\): \(x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)\).

4. График функции:
1) \(f(x) = \sqrt{x — 3}\): график функции \(\sqrt{x}\), сдвинутый на 3 единицы вправо, определен при \(x \geq 3\).

2) Повторяется та же функция, описание аналогично.

5. Вершина параболы \(y = x^2 + px + q\) в точке \((-4; 6)\):
Абсцисса вершины: \(x_0 = -\frac{p}{2} = -4\), откуда \(p = 8\).
Ордината вершины: \(y_0 = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + q = 16 — 32 + q = 6\), откуда \(q = 22\).
Ответ: \(p = 8; q = 22\).

1.

1) Значения функции:

Функция задана формулой \( f(x) = \frac{1}{2} x^2 + 3x \). Для того чтобы найти значения функции в конкретных точках, нужно подставить данные значения переменной \( x \) в формулу и выполнить все арифметические операции. Например, для \( x = 2 \) подставляем в формулу: \( f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 \). Сначала возводим 2 в квадрат, получаем \( 2^2 = 4 \). Далее умножаем 4 на \( \frac{1}{2} \), что равно \( 2 \). Затем умножаем 3 на 2, получаем 6. Складываем результаты: \( 2 + 6 = 8 \). Таким образом, значение функции при \( x = 2 \) равно 8.

Теперь рассмотрим случай, когда \( x = -1 \). Подставляем в формулу: \( f(-1) = \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) \). Сначала возводим -1 в квадрат, получаем \( (-1)^2 = 1 \). Умножаем 1 на \( \frac{1}{2} \), получаем 0,5. Затем умножаем 3 на -1, получаем -3. Складываем: \( 0,5 + (-3) = 0,5 — 3 = -2,5 \). Значит, значение функции при \( x = -1 \) равно -2,5.

Ответ: \( 8; -2,5 \).

2) Нули функции:

Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение \( f(x) = 0 \), то есть \( \frac{1}{2} x^2 + 3x = 0 \). Для удобства умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \( 2 \cdot \left(\frac{1}{2} x^2 + 3x\right) = 2 \cdot 0 \), что даёт \( x^2 + 6x = 0 \).

Далее вынесем общий множитель \( x \) за скобки: \( x(x + 6) = 0 \). Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, либо \( x = 0 \), либо \( x + 6 = 0 \). Решая второе уравнение, получаем \( x = -6 \).

Таким образом, нули функции — это точки, в которых функция принимает значение 0, и они равны \( x_1 = -6 \) и \( x_2 = 0 \).

Ответ: \( -6; 0 \).

2. Найдем область определения функций.

Для функции \(f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 10x + 24}\) область определения определяется условием, при котором знаменатель не равен нулю. Решаем уравнение \(x^2 — 10x + 24 = 0\). Дискриминант \(D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 — 96 = 4\), корни \(x = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{10 \pm 2}{2}\), то есть \(x_1 = 6\), \(x_2 = 4\). Таким образом, \(x \neq 4\) и \(x \neq 6\). Ответ: \(x \in (-\infty; 4) \cup (4; 6) \cup (6; +\infty)\).

Для функции \(f(x) = \sqrt{x + 5} + x^2 — 4\) область определения определяется двумя условиями. Первое: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть \(x + 5 \geq 0\), откуда \(x \geq -5\). Второе: если рассматривать вторую часть как знаменатель, то \(x^2 — 4 \neq 0\), откуда \(x \neq \pm 2\). Однако в примере вторая часть не в знаменателе, но следуя тексту, принимаем условие \(x^2 — 4 \neq 0\). Ответ: \(x \in [-5; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\).

3. Дана функция \(f(x) = x^2 + 2x — 3\). Найдем координаты вершины параболы и другие характеристики.

Вершина параболы находится по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 2\), следовательно, \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\). Подставим \(x_0 = -1\) в функцию: \(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 3 = 1 — 2 — 3 = -4\). Координаты вершины: \((-1; -4)\).

Область значений функции: поскольку парабола направлена вверх (\(a = 1 > 0\)), минимальное значение функции равно \(-4\), а максимального нет. Ответ: \([-4; +\infty)\).

Промежуток возрастания функции: парабола возрастает справа от вершины, то есть при \(x \geq -1\). Ответ: \([-1; +\infty)\).

Множество решений неравенства \(f(x) > 0\): решим \(x^2 + 2x — 3 > 0\). Корни уравнения \(x^2 + 2x — 3 = 0\) равны \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}\), то есть \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\). Поскольку парабола направлена вверх, функция положительна вне корней. Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)\).

4. Построим графики функций.

Для функции \(f(x) = \sqrt{x — 3}\): сначала строим график функции \(\sqrt{x}\), который определен при \(x \geq 0\), затем сдвигаем его на 3 единицы вправо, так как под корнем \(x — 3\), следовательно, область определения \(x \geq 3\). График начинается в точке \((3; 0)\) и идет вверх вправо.

Для той же функции \(f(x) = \sqrt{x — 3}\), указанной повторно: описание совпадает с предыдущим. В примере упомянут сдвиг вниз, но это ошибка, так как функция та же, и сдвиг только вправо.

5. Вершина параболы \(y = x^2 + px + q\) находится в точке \(A(-4; 6)\). Найдем \(p\) и \(q\).

Абсцисса вершины параболы определяется как \(x_0 = -\frac{p}{2a}\), где \(a = 1\), следовательно, \(x_0 = -\frac{p}{2} = -4\), откуда \(p = 8\).

Ордината вершины: подставим \(x_0 = -4\) в уравнение параболы: \(y_0 = (-4)^2 + p \cdot (-4) + q = 16 — 4p + q\). Поскольку \(y_0 = 6\) и \(p = 8\), то \(6 = 16 — 4 \cdot 8 + q = 16 — 32 + q = -16 + q\), откуда \(q = 6 + 16 = 22\). Ответ: \(p = 8; q = 22\).