ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 1 Номер 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите неравенство:
1) \(x^2 — 7x — 30 > 0\);
2) \(x^2 — 4x + 6 < 0\);
3) \(x^2 < 25\);
4) \(x^2 — 6x + 9 \leq 0\).

2. Решите систему уравнений \(\{x — 4y = 3, xy + 2y = 9\}\).

3. Найдите область определения функции:
1) \(y = 17x — x^2\);
2) \(y = \sqrt{15 — 2x — x^2}\).

4. Решите графически систему уравнений \(\{y = x^2 — 4x, 2x — y = 8\}\).

5. При каких значениях \(a\) уравнение \(x^2 — 6ax — 80 + 1 = 0\) не имеет корней?

6. Решите систему уравнений \(\{x^2 + 6xy + 9y^2 = 16, x — 3y = -2\}\).

1. Решение неравенств:
1) Для \(x^2 — 7x — 30 > 0\), корни \(x_1 = -3\), \(x_2 = 10\), ответ: \(x \in (-\infty, -3) \cup (10, +\infty)\).
2) Для \(x^2 — 4x + 6 < 0\), дискриминант \(D = -8 < 0\), парабола выше оси \(x\), ответ: \(x \in \emptyset\).
3) Для \(x^2 < 25\), эквивалентно \(x^2 — 25 < 0\), корни \(x = \pm 5\), ответ: \(x \in (-5, 5)\).
4) Для \(x^2 — 6x + 9 \leq 0\), преобразуем в \((x — 3)^2 \leq 0\), решение только при \(x = 3\), ответ: \(x \in \{3\}\).

2. Решение системы \(\{x — 4y = 3, xy + 2y = 9\}\):
Из первого уравнения \(x = 4y + 3\), подставляем во второе, получаем \(4y^2 + 5y — 9 = 0\), корни \(y_1 = -2.25\), \(y_2 = 1\), тогда \(x_1 = -6\), \(x_2 = 7\). Ответ: \((-6, -2.25)\), \((7, 1)\).

3. Область определения функций:
1) Для \(y = 17x — x^2\), выражение под корнем отсутствует, но если рассматривать \(7x — x^2 \geq 0\), то \(x \in [0, 7]\).
2) Для \(y = \sqrt{15 — 2x — x^2}\), подкоренное выражение \(15 — 2x — x^2 \geq 0\), корни \(x = -5\), \(x = 3\), ответ: \(x \in (-5, 3)\).

4. Графическое решение системы \(\{y = x^2 — 4x, 2x — y = 8\}\):
Преобразуем второе уравнение в \(y = 2x — 8\), строим параболу и прямую, точки пересечения: \((2, -4)\), \((4, 0)\). Ответ: \((2, -4)\), \((4, 0)\).

5. Уравнение \(x^2 — 6ax — 8a + 1 = 0\) не имеет корней, если дискриминант \(D = 36a^2 + 32a — 4 < 0\). Решаем неравенство, корни \(a = -1\), \(a = \frac{1}{9}\), ответ: \(a \in (-1, \frac{1}{9})\).

6. Решение системы \(\{x^2 + 6xy + 9y^2 = 16, x — 3y = -2\}\):
Из второго уравнения \(x = 3y — 2\), подставляем в первое, получаем \(3y^2 — 2y — 1 = 0\), корни \(y_1 = -1\), \(y_2 = 1\), тогда \(x_1 = -5\), \(x_2 = 1\). Ответ: \((-5, -1)\), \((1, 1)\).

1. Решение неравенств:

Для первого неравенства \(x^2 — 7x — 30 > 0\), найдем корни уравнения \(x^2 — 7x — 30 = 0\). Дискриминант \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169\). Корни: \(x_1 = \frac{7 — \sqrt{169}}{2} = \frac{7 — 13}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{7 + 13}{2} = 10\). Раскладываем на множители: \((x + 3)(x — 10) > 0\). Знак положительный, когда оба множителя одного знака, то есть \(x < -3\) или \(x > 10\). Ответ: \(x \in (-\infty, -3) \cup (10, +\infty)\).

Для второго неравенства \(x^2 — 4x + 6 < 0\), вычислим дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 — 24 = -8\). Так как \(D < 0\), а коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола всегда выше оси \(x\), и неравенство не имеет решений. Ответ: \(x \in \emptyset\).

Для третьего неравенства \(x^2 < 25\), преобразуем в \(x^2 — 25 < 0\), что эквивалентно \((x + 5)(x — 5) < 0\). Корни: \(x = -5\), \(x = 5\). Знак отрицательный между корнями, то есть \(-5 < x < 5\). Ответ: \(x \in (-5, 5)\).

Для четвертого неравенства \(x^2 — 6x + 9 \leq 0\), преобразуем выражение: \((x — 3)^2 \leq 0\). Квадрат числа меньше или равен нулю только при \(x — 3 = 0\), то есть \(x = 3\). Ответ: \(x \in \{3\}\).

2. Решение системы уравнений \(\{x — 4y = 3, xy + 2y = 9\}\):

Из первого уравнения выразим \(x\): \(x = 4y + 3\). Подставим это выражение во второе уравнение: \(xy + 2y = 9\), то есть \((4y + 3)y + 2y = 9\). Раскроем скобки: \(4y^2 + 3y + 2y = 9\), что дает \(4y^2 + 5y — 9 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169\). Корни: \(y_1 = \frac{-5 — \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 — 13}{8} = \frac{-18}{8} = -2.25\), \(y_2 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 13}{8} = \frac{8}{8} = 1\). Для каждого значения \(y\) найдем \(x\): при \(y = -2.25\), \(x = 4 \cdot (-2.25) + 3 = -9 + 3 = -6\); при \(y = 1\), \(x = 4 \cdot 1 + 3 = 7\). Ответ: \((-6, -2.25)\), \((7, 1)\).

3. Область определения функций:

Для функции \(y = 17x — x^2\), в условии подразумевается область, где выражение имеет смысл, если рассматривать \(7x — x^2 \geq 0\). Решаем неравенство: \(x^2 — 7x \leq 0\), то есть \(x(x — 7) \leq 0\). Корни: \(x = 0\), \(x = 7\), знак отрицательный между корнями, то есть \(0 \leq x \leq 7\). Ответ: \(x \in [0, 7]\).

Для функции \(y = \sqrt{15 — 2x — x^2}\), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(15 — 2x — x^2 \geq 0\), или \(x^2 + 2x — 15 \leq 0\). Дискриминант: \(D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 + 60 = 64\). Корни: \(x_1 = \frac{-2 — \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 — 8}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3\). Знак отрицательный между корнями: \(-5 < x < 3\). Ответ: \(x \in (-5, 3)\).

4. Графическое решение системы уравнений \(\{y = x^2 — 4x, 2x — y = 8\}\):

Преобразуем второе уравнение: \(y = 2x — 8\), это уравнение прямой. Первое уравнение \(y = x^2 — 4x\) — парабола. Для построения параболы найдем вершину: \(x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2\), \(y = 2^2 — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -4\), вершина в точке \((2, -4)\). Для прямой \(y = 2x — 8\) возьмем точки: при \(x = 4\), \(y = 2 \cdot 4 — 8 = 0\); при \(x = 6\), \(y = 2 \cdot 6 — 8 = 4\). Построив графики, видим точки пересечения: \((2, -4)\) и \((4, 0)\). Ответ: \((2, -4)\), \((4, 0)\).

5. Значения \(a\), при которых уравнение \(x^2 — 6ax — 8a + 1 = 0\) не имеет корней:

Уравнение не имеет корней, если дискриминант \(D < 0\). Вычислим дискриминант: \(D = (6a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (1 — 8a) = 36a^2 — 4 + 32a\). Решаем неравенство \(36a^2 + 32a — 4 < 0\). Упростим, разделив на 4: \(9a^2 + 8a — 1 < 0\). Дискриминант: \(D = 8^2 + 4 \cdot 9 \cdot 1 = 64 + 36 = 100\). Корни: \(a_1 = \frac{-8 — \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 — 10}{18} = -1\), \(a_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 + 10}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}\). Знак отрицательный между корнями: \(-1 < a < \frac{1}{9}\). Ответ: \(a \in (-1, \frac{1}{9})\).

6. Решение системы уравнений \(\{x^2 + 6xy + 9y^2 = 16, x — 3y = -2\}\):

Из второго уравнения выразим \(x\): \(x = 3y — 2\). Подставим в первое уравнение: \((3y — 2)^2 + 6y(3y — 2) + 9y^2 = 16\). Раскроем скобки: \(9y^2 — 12y + 4 + 18y^2 — 12y + 9y^2 = 16\), что дает \(36y^2 — 24y + 4 — 16 = 0\), или \(36y^2 — 24y — 12 = 0\). Разделим на 12: \(3y^2 — 2y — 1 = 0\). Дискриминант: \(D = (-2)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 + 12 = 16\). Корни: \(y_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 4}{6} = -\frac{1}{3}\), \(y_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = 1\). Найдем \(x\): при \(y = -\frac{1}{3}\), \(x = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) — 2 = -1 — 2 = -3\); при \(y = 1\), \(x = 3 \cdot 1 — 2 = 1\). Ответ: \((-3, -\frac{1}{3})\), \((1, 1)\).