ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 1 Номер 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите неравенство:
1) \(x^2 — 7x — 30 > 0\);
2) \(x^2 — 4x + 6 < 0\);
3) \(x^2 < 25\);
4) \(x^2 — 6x + 9 \leq 0\).

2. Решите систему уравнений \(\{x — 4y = 3, xy + 2y = 9\}\).

3. Найдите область определения функции:
1) \(y = 17x — x^2\);
2) \(y = \sqrt{15 — 2x — x^2}\).

4. Решите графически систему уравнений \(\{y = x^2 — 4x, 2x — y = 8\}\).

5. При каких значениях \(a\) уравнение \(x^2 — 6ax — 80 + 1 = 0\) не имеет корней?

6. Решите систему уравнений \(\{x^2 + 6xy + 9y^2 = 16, x — 3y = -2\}\).

1) Решить неравенство \(x^2 — 7x — 30 > 0\):

Дискриминант \(D = 7^2 + 4 \cdot 30 = 169\).

Корни: \(x_1 = \frac{7 — 13}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{7 + 13}{2} = 10\).

Неравенство верно при \(x < -3\) или \(x > 10\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (10; +\infty)\).

2) Решить неравенство \(x^2 — 4x + 6 < 0\):

Дискриминант \(D = 4^2 — 4 \cdot 6 = -8 < 0\), при \(a > 0\) решений нет.

Ответ: \(x \in \emptyset\).

3) Решить неравенство \(x^2 < 25\):

Запишем как \(x^2 — 25 < 0\), факторизация \((x + 5)(x — 5) < 0\).

Решение: \(-5 < x < 5\).

Ответ: \(x \in (-5; 5)\).

4) Решить неравенство \(x^2 — 6x + 9 \leq 0\):

Факторизация \((x — 3)^2 \leq 0\), значит \(x = 3\).

Ответ: \(x \in \{3\}\).

2. Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x — 4y = 3 \\
xy + 2y = 9
\end{cases}
\]

Из первого: \(x = 4y + 3\).

Подставим во второе: \(y(4y + 3) + 2y = 9 \Rightarrow 4y^2 + 5y — 9 = 0\).

Дискриминант \(D = 5^2 + 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169\).

Корни: \(y_1 = \frac{-5 — 13}{8} = -2.25\), \(y_2 = \frac{-5 + 13}{8} = 1\).

Найдем \(x\):

\(x_1 = 4 \cdot (-2.25) + 3 = -6\),

\(x_2 = 4 \cdot 1 + 3 = 7\).

Ответ: \((-6; -2.25), (7; 1)\).

3. Найти область определения функции:

1) \(y = \sqrt{7x — x^2}\).

Выражение под корнем \(\geq 0\):

\(7x — x^2 \geq 0 \Rightarrow x(7 — x) \geq 0\).

Решение: \(0 \leq x \leq 7\).

Ответ: \(x \in [0; 7]\).

2) \(y = \frac{9}{\sqrt{15 — 2x — x^2}}\).

Подкоренное выражение > 0:

\(15 — 2x — x^2 > 0 \Rightarrow x^2 + 2x — 15 < 0\).

Дискриминант \(D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 64\).

Корни: \(x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3\).

Решение: \(-5 < x < 3\).

Ответ: \(x \in (-5; 3)\).

4. Графическое решение системы \(\{y = x^2 — 4x, 2x — y = 8\}\):
Преобразуем второе уравнение в \(y = 2x — 8\), строим параболу и прямую, точки пересечения: \((2, -4)\), \((4, 0)\). Ответ: \((2, -4)\), \((4, 0)\).

5.

Дано уравнение \(x^2 — 6ax — 8a + 1 = 0\).

Найдем дискриминант: \(D = (6a)^2 — 4(1 — 8a) = 36a^2 — 4 + 32a\).

Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\):

\(36a^2 + 32a — 4 < 0\), делим на 4:

\(9a^2 + 8a — 1 < 0\).

Дискриминант: \(D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100\).

Корни: \(a_1 = \frac{-8 — 10}{18} = -1\), \(a_2 = \frac{-8 + 10}{18} = \frac{1}{9}\).

Решение: \(-1 < a < \frac{1}{9}\).

Ответ: \(a \in (-1; \frac{1}{9})\).

6. Решить систему:

\[
\begin{cases}
x^2 + 6xy + 9y^2 = 16 \\
x — 3y = -2
\end{cases}
\]

Из второго: \(x = 3y — 2\).

Подставляем в первое:

\((3y — 2)^2 + 6y(3y — 2) + 9y^2 = 16\),

Раскрываем скобки:

\(9y^2 — 12y + 4 + 18y^2 — 12y + 9y^2 = 16\),

Собираем:

\(36y^2 — 24y + 4 = 16\),

Переносим 16:

\(36y^2 — 24y — 12 = 0\),

Делим на 12:

\(3y^2 — 2y — 1 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16\).

Корни:

\(y_1 = \frac{2 — 4}{6} = -\frac{1}{3}\),

\(y_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1\).

Находим \(x\):

\(x_1 = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) — 2 = -1 — 2 = -3\),

\(x_2 = 3 \cdot 1 — 2 = 3 — 2 = 1\).

Ответ: \((-3; -\frac{1}{3}), (1; 1)\).

1. Решение неравенств:

Для первого неравенства \(x^2 — 7x — 30 > 0\), найдем корни уравнения \(x^2 — 7x — 30 = 0\). Дискриминант \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169\). Корни: \(x_1 = \frac{7 — \sqrt{169}}{2} = \frac{7 — 13}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{7 + 13}{2} = 10\). Раскладываем на множители: \((x + 3)(x — 10) > 0\). Знак положительный, когда оба множителя одного знака, то есть \(x < -3\) или \(x > 10\). Ответ: \(x \in (-\infty, -3) \cup (10, +\infty)\).

Для второго неравенства \(x^2 — 4x + 6 < 0\), вычислим дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 — 24 = -8\). Так как \(D < 0\), а коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола всегда выше оси \(x\), и неравенство не имеет решений. Ответ: \(x \in \emptyset\).

Для третьего неравенства \(x^2 < 25\), преобразуем в \(x^2 — 25 < 0\), что эквивалентно \((x + 5)(x — 5) < 0\). Корни: \(x = -5\), \(x = 5\). Знак отрицательный между корнями, то есть \(-5 < x < 5\). Ответ: \(x \in (-5, 5)\).

Для четвертого неравенства \(x^2 — 6x + 9 \leq 0\), преобразуем выражение: \((x — 3)^2 \leq 0\). Квадрат числа меньше или равен нулю только при \(x — 3 = 0\), то есть \(x = 3\). Ответ: \(x \in \{3\}\).

2. Решение системы уравнений \(\{x — 4y = 3, xy + 2y = 9\}\):

Из первого уравнения выразим \(x\): \(x = 4y + 3\). Подставим это выражение во второе уравнение: \(xy + 2y = 9\), то есть \((4y + 3)y + 2y = 9\). Раскроем скобки: \(4y^2 + 3y + 2y = 9\), что дает \(4y^2 + 5y — 9 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169\). Корни: \(y_1 = \frac{-5 — \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 — 13}{8} = \frac{-18}{8} = -2.25\), \(y_2 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 13}{8} = \frac{8}{8} = 1\). Для каждого значения \(y\) найдем \(x\): при \(y = -2.25\), \(x = 4 \cdot (-2.25) + 3 = -9 + 3 = -6\); при \(y = 1\), \(x = 4 \cdot 1 + 3 = 7\). Ответ: \((-6, -2.25)\), \((7, 1)\).

3. Область определения функций:

Для функции \(y = 17x — x^2\), в условии подразумевается область, где выражение имеет смысл, если рассматривать \(7x — x^2 \geq 0\). Решаем неравенство: \(x^2 — 7x \leq 0\), то есть \(x(x — 7) \leq 0\). Корни: \(x = 0\), \(x = 7\), знак отрицательный между корнями, то есть \(0 \leq x \leq 7\). Ответ: \(x \in [0, 7]\).

Для функции \(y = \sqrt{15 — 2x — x^2}\), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(15 — 2x — x^2 \geq 0\), или \(x^2 + 2x — 15 \leq 0\). Дискриминант: \(D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 + 60 = 64\). Корни: \(x_1 = \frac{-2 — \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 — 8}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3\). Знак отрицательный между корнями: \(-5 < x < 3\). Ответ: \(x \in (-5, 3)\).

4. Графическое решение системы уравнений \(\{y = x^2 — 4x, 2x — y = 8\}\):

Преобразуем второе уравнение: \(y = 2x — 8\), это уравнение прямой. Первое уравнение \(y = x^2 — 4x\) — парабола. Для построения параболы найдем вершину: \(x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2\), \(y = 2^2 — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -4\), вершина в точке \((2, -4)\). Для прямой \(y = 2x — 8\) возьмем точки: при \(x = 4\), \(y = 2 \cdot 4 — 8 = 0\); при \(x = 6\), \(y = 2 \cdot 6 — 8 = 4\). Построив графики, видим точки пересечения: \((2, -4)\) и \((4, 0)\). Ответ: \((2, -4)\), \((4, 0)\).

5. Значения \(a\), при которых уравнение \(x^2 — 6ax — 8a + 1 = 0\) не имеет корней:

Уравнение не имеет корней, если дискриминант \(D < 0\). Вычислим дискриминант: \(D = (6a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (1 — 8a) = 36a^2 — 4 + 32a\). Решаем неравенство \(36a^2 + 32a — 4 < 0\). Упростим, разделив на 4: \(9a^2 + 8a — 1 < 0\). Дискриминант: \(D = 8^2 + 4 \cdot 9 \cdot 1 = 64 + 36 = 100\). Корни: \(a_1 = \frac{-8 — \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 — 10}{18} = -1\), \(a_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 + 10}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}\). Знак отрицательный между корнями: \(-1 < a < \frac{1}{9}\). Ответ: \(a \in (-1, \frac{1}{9})\).

6. Решение системы уравнений \(\{x^2 + 6xy + 9y^2 = 16, x — 3y = -2\}\):

Из второго уравнения выразим \(x\): \(x = 3y — 2\). Подставим в первое уравнение: \((3y — 2)^2 + 6y(3y — 2) + 9y^2 = 16\). Раскроем скобки: \(9y^2 — 12y + 4 + 18y^2 — 12y + 9y^2 = 16\), что дает \(36y^2 — 24y + 4 — 16 = 0\), или \(36y^2 — 24y — 12 = 0\). Разделим на 12: \(3y^2 — 2y — 1 = 0\). Дискриминант: \(D = (-2)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 + 12 = 16\). Корни: \(y_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 4}{6} = -\frac{1}{3}\), \(y_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = 1\). Найдем \(x\): при \(y = -\frac{1}{3}\), \(x = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) — 2 = -1 — 2 = -3\); при \(y = 1\), \(x = 3 \cdot 1 — 2 = 1\). Ответ: \((-3, -\frac{1}{3})\), \((1, 1)\).