ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 1 Номер 5 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите четырнадцатый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_1 = 2\), \(a_2 = 5\).

2. Найдите пятый член и сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_1 = 27\), а знаменатель \(q = 1\).

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \(28, -14, 7, \dots\).

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии \((a_n)\), равного \(7,3\), если \(a_1 = 10,3\), а разность прогрессии \(d = -0,5\).

5. Какие два числа надо вставить между числами \(2,5\) и \(20\), чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

6. При каком значении \(x\) значения выражений \(2x + 6\), \(x + 7\) и \(x + 4\) будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных \(6\), которые больше \(100\) и меньше \(200\).

1.
Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\):
\(a_1 = 2\) и \(a_2 = 5\);
1) Разность данной прогрессии:
\(d = a_2 — a_1 = 5 — 2 = 3\);
2) Четырнадцатый член прогрессии:
\(a_n = a_1 + d(n — 1);\)
\(a_n = 2 + 3(n — 1) = 2 + 3n — 3 = 3n — 1;\)
\(a_{14} = 3 \cdot 14 — 1 = 42 — 1 = 41;\)
3) Сумма двадцати первых членов прогрессии:
\(S_{20} = \frac{2a_1 + d(20 — 1)}{2} \cdot 20 = 10(2a_1 + 19d);\)
\(S_{20} = 10 \cdot (2 \cdot 2 + 19 \cdot 3) = 10 \cdot (4 + 57);\)
\(S_{20} = 10 \cdot 61 = 610;\)
Ответ: \(a_{14} = 41;\; S_{20} = 610.\)

2.
Дана геометрическая прогрессия \((b_n)\):
\(b_1 = 27\) и \(q = \frac{1}{3};\)
1) Пятый член прогрессии:
\(b_n = b_1 q^{n-1};\)
\(b_n = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{3^3}{3^{n-1}} = 3^{3-(n-1)} = 3^{4-n};\)
\(b_5 = 3^{4-5} = 3^{-1} = \frac{1}{3};\)
2) Сумма четырех первых членов прогрессии:
\(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 — 1}{q — 1} = 27 \cdot \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^4 — 1}{\frac{1}{3} — 1} = 27 \cdot \frac{\frac{1}{81} — 1}{-\frac{2}{3}};\)
\(S_4 = -\frac{3}{2} \cdot 27 \cdot \left(-\frac{80}{81}\right) = \frac{27 \cdot 40}{27} = 40;\)
Ответ: \(b_5 = \frac{1}{3};\; S_4 = 40.\)

3.
Дана геометрическая прогрессия \((b_n)\):
\(28; -14; 7; \ldots;\)
1) Первый член и знаменатель прогрессии:
\(b_1 = 28,\; b_2 = -14;\)
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-14}{28} = -\frac{1}{2} = -0,5;\)
2) Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{28}{1 — (-0,5)} = \frac{28}{1,5} = \frac{56}{3} = 18 \frac{2}{3};\)
Ответ: \(18 \frac{2}{3}.\)

4.
Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\):
\(a_1 = 10,3\) и \(d = -0,5;\)
1) Формула n-го члена прогрессии:
\(a_n = a_1 + d(n — 1) = 10,3 — 0,5(n — 1);\)
\(a_n = 10,3 — 0,5n + 0,5 = 10,8 — 0,5n;\)
2) Номер члена, равного числу 7,3:
\(7,3 = 10,8 — 0,5n;\)
\(0,5n = 3,5;\)
\(n = \frac{3,5}{0,5} = \frac{35}{5} = 7;\)
Ответ: 7.

5.
Между числами 2,5 и 20 вставить два таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовывали геометрическую прогрессию;
1) Дана геометрическая прогрессия:
\(b_1 = 2,5, \quad b_4 = 20;\)
\(b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3;\)
\(20 = 2,5 \cdot q^3;\)
\(q^3 = \frac{20}{2,5} = \frac{40}{5} = 8;\)
\(q = \sqrt[3]{8} = 2;\)
2) Четыре первых члена прогрессии:
\(b_1 = 2,5;\)
\(b_2 = b_1 \cdot q = 2,5 \cdot 2 = 5;\)
\(b_3 = b_2 \cdot q = 5 \cdot 2 = 10;\)
\(b_4 = b_3 \cdot q = 10 \cdot 2 = 20;\)
Ответ: \(2,5; 5; 10; 20.\)

6.
Даны выражения: \(2x + 6; \quad x + 7; \quad x + 4;\)
1) Дана геометрическая прогрессия:
\(b_1 = 2x + 6, \quad b_2 = x + 7, \quad b_3 = x + 4;\)
2) По свойству геометрической прогрессии:
\(b_2^2 = b_1 \cdot b_3;\)
\((x + 7)^2 = (2x + 6)(x + 4);\)
\(x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 8x + 6x + 24;\)
\(x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 14x + 24;\)
\(x^2 = 25;\)
\(x = \pm \sqrt{25} = \pm 5;\)
3) Если \(x = -5\), тогда:
\(b_1 = 2 \cdot (-5) + 6 = -10 + 6 = -4;\)
\(b_2 = -5 + 7 = 2;\)
\(b_3 = -5 + 4 = -1;\)
4) Если \(x = 5\), тогда:
\(b_1 = 2 \cdot 5 + 6 = 10 + 6 = 16;\)
\(b_2 = 5 + 7 = 12;\)
\(b_3 = 5 + 4 = 9;\)
Ответ: \(-4; 2; -1,\) если \(x = -5;\)
\(16; 12; 9,\) если \(x = 5.\)

7.
1) Уравнение всех натуральных чисел, кратных 6:
\(a_n = 6n;\)
2) Номер первого члена, большего числа 100:
\(6n \geq 100;\)
\(3n > 50;\)
\(n > 16 \frac{2}{3};\)
\(n = 17;\)
3) Номер последнего члена, меньшего числа 200:
\(6n < 200;\)
\(3n < 100;\)
\(n < 33 \frac{1}{3};\)
\(n = 33;\)
4) Количество подходящих членов:
\(n = (33 — 17) + 1 = 17;\)
5) Семнадцатый и тридцать третий члены прогрессии:
\(a_{17} = 17 \cdot 6 = 102;\)
\(a_{33} = 33 \cdot 6 = 198;\)
6) Сумма членов прогрессии с семнадцатого по тридцать третий:
\(S_{17-33} = \frac{a_{17} + a_{33}}{2} \cdot 17 = \frac{102 + 198}{2} \cdot 17 = \frac{300}{2} \cdot 17 = 150 \cdot 17 = 2550;\)
Ответ: 2550.

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 2\) и вторым членом \(a_2 = 5\). Наша задача — найти четырнадцатый член прогрессии и сумму первых двадцати членов.

Сначала определим разность прогрессии \(d\). Она равна разнице между вторым и первым членом: \(d = a_2 — a_1 = 5 — 2 = 3\).

Теперь найдем четырнадцатый член прогрессии по формуле \(a_n = a_1 + d(n — 1)\). Подставим значения: \(a_{14} = 2 + 3(14 — 1) = 2 + 3 \cdot 13 = 2 + 39 = 41\).

Далее вычислим сумму первых двадцати членов по формуле суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n — 1))\). Для \(n = 20\): \(S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2 \cdot 2 + 3(20 — 1)) = 10 \cdot (4 + 57) = 10 \cdot 61 = 610\).

Ответ: \(a_{14} = 41\), \(S_{20} = 610\).

2. Дана геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1 = 27\) и знаменателем \(q = 1\). Нужно найти пятый член прогрессии и сумму первых четырех членов.

Сначала определим пятый член прогрессии по формуле \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Для \(n = 5\): \(b_5 = 27 \cdot 1^{5-1} = 27 \cdot 1^4 = 27 \cdot 1 = 27\).

Теперь вычислим сумму первых четырех членов. Обычно используется формула \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\), но поскольку \(q = 1\), знаменатель становится равным нулю, и формула неприменима. В этом случае сумма равна произведению первого члена на количество членов: \(S_4 = 27 \cdot 4 = 108\).

Ответ: \(b_5 = 27\), \(S_4 = 108\).

3. Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию с членами \(28, -14, 7, \dots\). Наша цель — найти сумму этой прогрессии.

Сначала определим первый член и знаменатель прогрессии. Первый член \(b_1 = 28\), второй член \(b_2 = -14\). Знаменатель \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-14}{28} = -0.5\).

Для бесконечной геометрической прогрессии с \(|q| < 1\) сумма вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставим значения: \(S = \frac{28}{1 — (-0.5)} = \frac{28}{1 + 0.5} = \frac{28}{1.5} = \frac{28 \cdot 2}{3} = \frac{56}{3}\).

Ответ: \(S = \frac{56}{3}\).

4. Дана арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 10.3\) и разностью \(d = -0.5\). Нужно найти номер члена прогрессии, равного \(7.3\).

Сначала запишем формулу общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + d(n — 1)\). Подставим \(a_n = 7.3\): \(7.3 = 10.3 + (-0.5)(n — 1)\).

Упростим уравнение: \(7.3 = 10.3 — 0.5(n — 1)\). Вычтем \(7.3\) из \(10.3\): \(10.3 — 7.3 = 0.5(n — 1)\), то есть \(3 = 0.5(n — 1)\).

Разделим обе части на \(0.5\): \(n — 1 = \frac{3}{0.5} = 6\). Тогда \(n = 6 + 1 = 7\).

Ответ: \(n = 7\).

5. Нужно вставить два числа между \(2.5\) и \(20\), чтобы они образовали геометрическую прогрессию.

Обозначим первый член \(b_1 = 2.5\), четвертый член \(b_4 = 20\). По формуле геометрической прогрессии \(b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3\). Подставим значения: \(20 = 2.5 \cdot q^3\).

Разделим обе части на \(2.5\): \(q^3 = \frac{20}{2.5} = 8\). Тогда \(q = \sqrt[3]{8} = 2\).

Теперь найдем второй и третий члены прогрессии. Второй член: \(b_2 = b_1 \cdot q = 2.5 \cdot 2 = 5\). Третий член: \(b_3 = b_2 \cdot q = 5 \cdot 2 = 10\).

Проверим: \(b_4 = b_3 \cdot q = 10 \cdot 2 = 20\), что совпадает с заданным значением. Итак, прогрессия: \(2.5, 5, 10, 20\).

Ответ: числа \(5\) и \(10\).

6. Даны выражения \(2x + 6\), \(x + 7\), \(x + 4\). Нужно найти значения \(x\), при которых эти выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии, и определить сами члены.

Для геометрической прогрессии выполняется условие: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов, то есть \((x + 7)^2 = (2x + 6)(x + 4)\).

Раскроем левую часть: \((x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49\). Раскроем правую часть: \((2x + 6)(x + 4) = 2x \cdot x + 2x \cdot 4 + 6 \cdot x + 6 \cdot 4 = 2x^2 + 8x + 6x + 24 =\)
\(= 2x^2 + 14x + 24\).

Приравняем: \(x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 14x + 24\). Вычтем \(x^2 + 14x\) из обеих частей: \(49 = x^2 + 24\). Тогда \(x^2 = 49 — 24 = 25\), откуда \(x = \pm \sqrt{25} = \pm 5\).

Проверим для \(x = 5\): первый член \(2 \cdot 5 + 6 = 16\), второй член \(5 + 7 = 12\), третий член \(5 + 4 = 9\). Проверяем соотношение: \(12^2 = 144\), \(16 \cdot 9 = 144\), условие выполняется.

Для \(x = -5\): первый член \(2 \cdot (-5) + 6 = -10 + 6 = -4\), второй член \(-5 + 7 = 2\), третий член \(-5 + 4 = -1\). Проверяем: \(2^2 = 4\), \((-4) \cdot (-1) = 4\), условие выполняется.

Ответ: при \(x = 5\): члены \(16, 12, 9\); при \(x = -5\): члены \(-4, 2, -1\).

7. Нужно найти сумму всех натуральных чисел, кратных \(6\), которые больше \(100\) и меньше \(200\).

Сначала запишем общий вид таких чисел. Это арифметическая прогрессия с разностью \(d = 6\), где \(a_n = 6n\).

Найдем первый член прогрессии, больший \(100\). Решаем неравенство: \(6n > 100\), откуда \(n > \frac{100}{6} \approx 16.67\). Поскольку \(n\) должно быть целым, берем \(n = 17\). Тогда \(a_{17} = 6 \cdot 17 = 102\).

Найдем последний член, меньший \(200\): \(6n < 200\), откуда \(n < \frac{200}{6} \approx 33.33\). Берем \(n = 33\), тогда \(a_{33} = 6 \cdot 33 = 198\).

Определим количество членов прогрессии от \(n = 17\) до \(n = 33\): \(33 — 17 + 1 = 17\) членов.

Теперь вычислим сумму членов с \(17\)-го по \(33\)-й по формуле суммы арифметической прогрессии: \(S = \frac{k}{2} \cdot (a_{\text{первый}} + a_{\text{последний}})\), где \(k\) — количество членов. Подставим: \(S = \frac{17}{2} \cdot (102 + 198) = \frac{17}{2} \cdot 300 = 17 \cdot 150 = 2550\).

Ответ: сумма равна \(2550\).