ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 1 Номер 5 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите четырнадцатый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_1 = 2\), \(a_2 = 5\).

2. Найдите пятый член и сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_1 = 27\), а знаменатель \(q = 1\).

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \(28, -14, 7, \dots\).

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии \((a_n)\), равного \(7,3\), если \(a_1 = 10,3\), а разность прогрессии \(d = -0,5\).

5. Какие два числа надо вставить между числами \(2,5\) и \(20\), чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

6. При каком значении \(x\) значения выражений \(2x + 6\), \(x + 7\) и \(x + 4\) будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных \(6\), которые больше \(100\) и меньше \(200\).

1. Для арифметической прогрессии \(a_1 = 2\), \(a_2 = 5\), разность \(d = 5 — 2 = 3\). Четырнадцатый член: \(a_{14} = a_1 + d(n-1) = 2 + 3(14-1) = 2 + 39 = 41\). Сумма первых 20 членов: \(S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2a_1 + d(20-1)) = 10 \cdot (4 + 57) = 10 \cdot 61 = 610\). Ответ: \(a_{14} = 41\), \(S_{20} = 610\).

2. Для геометрической прогрессии \(b_1 = 27\), \(q = 1\). Пятый член: \(b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 27 \cdot 1^4 = 27\). Сумма первых 4 членов: \(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 — 1}{q — 1}\), но так как \(q = 1\), то \(S_4 = 27 \cdot 4 = 108\). Ответ: \(b_5 = 27\), \(S_4 = 108\).

3. Для бесконечной геометрической прогрессии \(28, -14, 7, \dots\), \(b_1 = 28\), \(q = \frac{-14}{28} = -0.5\). Сумма: \(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{28}{1 — (-0.5)} = \frac{28}{1.5} = \frac{56}{3} \approx 18.67\). Ответ: \(\frac{56}{3}\).

4. Для арифметической прогрессии \(a_1 = 10.3\), \(d = -0.5\), ищем \(n\), при котором \(a_n = 7.3\). Формула: \(a_n = a_1 + d(n-1)\), подставляем: \(7.3 = 10.3 — 0.5(n-1)\), \(0.5(n-1) = 3\), \(n-1 = 6\), \(n = 7\). Ответ: \(n = 7\).

5. Между числами \(2.5\) и \(20\) вставим два числа для геометрической прогрессии. \(b_1 = 2.5\), \(b_4 = 20\), \(b_4 = b_1 \cdot q^3\), \(20 = 2.5 \cdot q^3\), \(q^3 = 8\), \(q = 2\). Тогда \(b_2 = 2.5 \cdot 2 = 5\), \(b_3 = 5 \cdot 2 = 10\). Ответ: \(5, 10\).

6. Для выражений \(2x + 6\), \(x + 7\), \(x + 4\) как членов геометрической прогрессии: \((x + 7)^2 = (2x + 6)(x + 4)\). Решаем: \(x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 14x + 24\), \(x^2 = 25\), \(x = \pm 5\). При \(x = 5\): \(16, 12, 9\); при \(x = -5\): \(-4, 2, -1\). Ответ: при \(x = 5\): \(16, 12, 9\); при \(x = -5\): \(-4, 2, -1\).

7. Натуральные числа, кратные 6, больше 100 и меньше 200: \(a_n = 6n\). Первое \(n\): \(6n > 100\), \(n > 16.67\), \(n = 17\) (\(a_{17} = 102\)). Последнее \(n\): \(6n < 200\), \(n < 33.33\), \(n = 33\) (\(a_{33} = 198\)). Количество членов: \(33 — 17 + 1 = 17\). Сумма: \(S = \frac{17}{2} \cdot (102 + 198) = \frac{17}{2} \cdot 300 = 2550\). Ответ: \(2550\).

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 2\) и вторым членом \(a_2 = 5\). Наша задача — найти четырнадцатый член прогрессии и сумму первых двадцати членов.

Сначала определим разность прогрессии \(d\). Она равна разнице между вторым и первым членом: \(d = a_2 — a_1 = 5 — 2 = 3\).

Теперь найдем четырнадцатый член прогрессии по формуле \(a_n = a_1 + d(n — 1)\). Подставим значения: \(a_{14} = 2 + 3(14 — 1) = 2 + 3 \cdot 13 = 2 + 39 = 41\).

Далее вычислим сумму первых двадцати членов по формуле суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n — 1))\). Для \(n = 20\): \(S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2 \cdot 2 + 3(20 — 1)) = 10 \cdot (4 + 57) = 10 \cdot 61 = 610\).

Ответ: \(a_{14} = 41\), \(S_{20} = 610\).

2. Дана геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1 = 27\) и знаменателем \(q = 1\). Нужно найти пятый член прогрессии и сумму первых четырех членов.

Сначала определим пятый член прогрессии по формуле \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Для \(n = 5\): \(b_5 = 27 \cdot 1^{5-1} = 27 \cdot 1^4 = 27 \cdot 1 = 27\).

Теперь вычислим сумму первых четырех членов. Обычно используется формула \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\), но поскольку \(q = 1\), знаменатель становится равным нулю, и формула неприменима. В этом случае сумма равна произведению первого члена на количество членов: \(S_4 = 27 \cdot 4 = 108\).

Ответ: \(b_5 = 27\), \(S_4 = 108\).

3. Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию с членами \(28, -14, 7, \dots\). Наша цель — найти сумму этой прогрессии.

Сначала определим первый член и знаменатель прогрессии. Первый член \(b_1 = 28\), второй член \(b_2 = -14\). Знаменатель \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-14}{28} = -0.5\).

Для бесконечной геометрической прогрессии с \(|q| < 1\) сумма вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставим значения: \(S = \frac{28}{1 — (-0.5)} = \frac{28}{1 + 0.5} = \frac{28}{1.5} = \frac{28 \cdot 2}{3} = \frac{56}{3}\).

Ответ: \(S = \frac{56}{3}\).

4. Дана арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 10.3\) и разностью \(d = -0.5\). Нужно найти номер члена прогрессии, равного \(7.3\).

Сначала запишем формулу общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + d(n — 1)\). Подставим \(a_n = 7.3\): \(7.3 = 10.3 + (-0.5)(n — 1)\).

Упростим уравнение: \(7.3 = 10.3 — 0.5(n — 1)\). Вычтем \(7.3\) из \(10.3\): \(10.3 — 7.3 = 0.5(n — 1)\), то есть \(3 = 0.5(n — 1)\).

Разделим обе части на \(0.5\): \(n — 1 = \frac{3}{0.5} = 6\). Тогда \(n = 6 + 1 = 7\).

Ответ: \(n = 7\).

5. Нужно вставить два числа между \(2.5\) и \(20\), чтобы они образовали геометрическую прогрессию.

Обозначим первый член \(b_1 = 2.5\), четвертый член \(b_4 = 20\). По формуле геометрической прогрессии \(b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3\). Подставим значения: \(20 = 2.5 \cdot q^3\).

Разделим обе части на \(2.5\): \(q^3 = \frac{20}{2.5} = 8\). Тогда \(q = \sqrt[3]{8} = 2\).

Теперь найдем второй и третий члены прогрессии. Второй член: \(b_2 = b_1 \cdot q = 2.5 \cdot 2 = 5\). Третий член: \(b_3 = b_2 \cdot q = 5 \cdot 2 = 10\).

Проверим: \(b_4 = b_3 \cdot q = 10 \cdot 2 = 20\), что совпадает с заданным значением. Итак, прогрессия: \(2.5, 5, 10, 20\).

Ответ: числа \(5\) и \(10\).

6. Даны выражения \(2x + 6\), \(x + 7\), \(x + 4\). Нужно найти значения \(x\), при которых эти выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии, и определить сами члены.

Для геометрической прогрессии выполняется условие: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов, то есть \((x + 7)^2 = (2x + 6)(x + 4)\).

Раскроем левую часть: \((x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49\). Раскроем правую часть: \((2x + 6)(x + 4) = 2x \cdot x + 2x \cdot 4 + 6 \cdot x + 6 \cdot 4 = 2x^2 + 8x + 6x + 24 =\)
\(= 2x^2 + 14x + 24\).

Приравняем: \(x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 14x + 24\). Вычтем \(x^2 + 14x\) из обеих частей: \(49 = x^2 + 24\). Тогда \(x^2 = 49 — 24 = 25\), откуда \(x = \pm \sqrt{25} = \pm 5\).

Проверим для \(x = 5\): первый член \(2 \cdot 5 + 6 = 16\), второй член \(5 + 7 = 12\), третий член \(5 + 4 = 9\). Проверяем соотношение: \(12^2 = 144\), \(16 \cdot 9 = 144\), условие выполняется.

Для \(x = -5\): первый член \(2 \cdot (-5) + 6 = -10 + 6 = -4\), второй член \(-5 + 7 = 2\), третий член \(-5 + 4 = -1\). Проверяем: \(2^2 = 4\), \((-4) \cdot (-1) = 4\), условие выполняется.

Ответ: при \(x = 5\): члены \(16, 12, 9\); при \(x = -5\): члены \(-4, 2, -1\).

7. Нужно найти сумму всех натуральных чисел, кратных \(6\), которые больше \(100\) и меньше \(200\).

Сначала запишем общий вид таких чисел. Это арифметическая прогрессия с разностью \(d = 6\), где \(a_n = 6n\).

Найдем первый член прогрессии, больший \(100\). Решаем неравенство: \(6n > 100\), откуда \(n > \frac{100}{6} \approx 16.67\). Поскольку \(n\) должно быть целым, берем \(n = 17\). Тогда \(a_{17} = 6 \cdot 17 = 102\).

Найдем последний член, меньший \(200\): \(6n < 200\), откуда \(n < \frac{200}{6} \approx 33.33\). Берем \(n = 33\), тогда \(a_{33} = 6 \cdot 33 = 198\).

Определим количество членов прогрессии от \(n = 17\) до \(n = 33\): \(33 — 17 + 1 = 17\) членов.

Теперь вычислим сумму членов с \(17\)-го по \(33\)-й по формуле суммы арифметической прогрессии: \(S = \frac{k}{2} \cdot (a_{\text{первый}} + a_{\text{последний}})\), где \(k\) — количество членов. Подставим: \(S = \frac{17}{2} \cdot (102 + 198) = \frac{17}{2} \cdot 300 = 17 \cdot 150 = 2550\).

Ответ: сумма равна \(2550\).