ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 1 Номер 6 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите неравенство \(7(2x — 3) < 10x + 19\).

2. Постройте график функции \(y = 5 + 4x — x^2\). Пользуясь графиком, найдите:
1) промежуток возрастания функции;
2) множество решений неравенства \(5 + 4x — x^2 \geq 0\).

3. Решите систему уравнений \(\{x — y = 3, x^2 — xy — 242 = 7\}\).

4. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_1 = -0,8\), \(a_2 = -5\).

5. Двое рабочих могут вместе выполнить некоторое задание за \(4\) дня. Если треть задания выполнит первый рабочий, а затем его заменит второй, то всё задание будет выполнено за \(10\) дней. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них самостоятельно?

6. При каких значениях \(a\) уравнение \(x^2 + (a + 5)x + 1 = 0\) имеет два различных действительных корня?

7. На четырёх карточках записаны числа \(5, 6, 7\) и \(8\). Какова вероятность того, что сумма чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет нечётным числом?

1.
Рассмотрим неравенство \(7(2x — 3) \leq 10x + 19\). Раскроем скобки слева: \(14x — 21 \leq 10x + 19\). Переносим все члены с \(x\) влево, а свободные члены вправо: \(14x — 10x \leq 19 + 21\). Получаем \(4x \leq 40\). Делим обе части на 4: \(x \leq \frac{40}{4}\). Итог: \(x \leq 10\). Ответ: \(x \in (-\infty; 10]\).

2.

Дана функция \(f(x) = 5 + 4x — x^2\). Координаты вершины параболы находятся по формулам:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2\),
\(y_0 = f(x_0) = 5 + 4 \cdot 2 — 2^2 = 9\).
1) Промежуток возрастания функции: \(x \in (-\infty; 2]\).
2) Множество решений неравенства \(5 + 4x — x^2 \geq 0\): \(x \in [-1; 5]\).

3.
Решим систему уравнений:
\(\begin{cases} x — y = 3 \\ x^2 — xy — 2y^2 = 7 \end{cases}\).
Из первого уравнения выразим \(y\): \(y = x — 3\). Подставим во второе уравнение:
\(x^2 — x(x — 3) — 2(x — 3)^2 = 7\). Раскроем скобки:
\(x^2 — x^2 + 3x — 2(x^2 — 6x + 9) = 7\). Упростим:
\(3x — 2x^2 + 12x — 18 = 7\). Переносим всё в левую часть:
\(2x^2 — 15x + 25 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = 15^2 — 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 — 200 = 25\).
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{15 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2.5\),
\(x_2 = \frac{15 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5\).
Соответствующие \(y\):
\(y_1 = 2.5 — 3 = -0.5\),
\(y_2 = 5 — 3 = 2\).
Ответ: \((2.5; -0.5); (5; 2)\).

4.
Дана арифметическая прогрессия \(a_n\) с \(a_5 = -0.8\) и \(a_{11} = -5\).
1) Найдем первый член и разность прогрессии:
\(\begin{cases} a_5 = a_1 + d(5 — 1) \\ a_{11} = a_1 + d(11 — 1) \end{cases}\)
Из системы:
\(a_1 = a_5 — 4d\),
\(a_1 = a_{11} — 10d\).
Приравняем:
\(a_5 — 4d = a_{11} — 10d\). Подставим значения:
\(-0.8 — 4d = -5 — 10d\). Переносим:
\(6d = -4.2\).
Разделим:
\(d = -\frac{4.2}{6} = -0.7\).
Найдем \(a_1\):
\(a_1 = -0.8 — 4 \cdot (-0.7) = -0.8 + 2.8 = 2\).
2) Сумма двадцати первых членов:
\(S_{20} = \frac{2a_1 + d(20 — 1)}{2} \cdot 20 = 10(2a_1 + 19d)\).
Подставим:
\(S_{20} = 10(2 \cdot 2 + 19 \cdot (-0.7)) = 10(4 — 13.3) = 10 \cdot (-9.3) = -93\).
Ответ: \(-93\).

5.
Пусть \(x\) и \(y\) — время выполнения задания первым и вторым рабочими соответственно. Производительность первого: \(\frac{1}{x}\), второго: \(\frac{1}{y}\).
Вместе они выполняют задание за 4 дня:
\(\frac{4}{x} + \frac{4}{y} = 1\).
Если первый выполнит треть задания, а второй — остальное за 10 дней:
\(\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y = 10\).
Перепишем систему:
\(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ x + 2y = 30 \end{cases}\).
Подставим \(x = 30 — 2y\) в первое:
\(\frac{1}{30 — 2y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\).
Умножим на \(4y(30 — 2y)\):
\(4y + 4(30 — 2y) = y(30 — 2y)\).
Раскроем скобки:
\(4y + 120 — 8y = 30y — 2y^2\).
Приведем:
\(2y^2 — 34y + 120 = 0\). Разделим на 2:
\(y^2 — 17y + 60 = 0\).
Дискриминант:
\(D = 17^2 — 4 \cdot 60 = 289 — 240 = 49\).
Корни:
\(y_1 = \frac{17 — 7}{2} = 5\),
\(y_2 = \frac{17 + 7}{2} = 12\).
Найдем \(x\):
\(x_1 = 30 — 2 \cdot 5 = 20\),
\(x_2 = 30 — 2 \cdot 12 = 6\).
Ответ: \(20\) дней; \(5\) дней или \(6\) дней; \(12\) дней.

6.
Дано уравнение: \(x^2 + (a + 5)x + 1 = 0\).
1) Дискриминант:
\(D = (a + 5)^2 — 4 = a^2 + 10a + 25 — 4 = a^2 + 10a + 21\).
2) Уравнение имеет два различных корня, если \(D > 0\):
\(a^2 + 10a + 21 > 0\).
Вычислим дискриминант для этого неравенства:
\(D = 10^2 — 4 \cdot 21 = 100 — 84 = 16\).
Корни:
\(a_1 = \frac{-10 — 4}{2} = -7\),
\(a_2 = \frac{-10 + 4}{2} = -3\).
Неравенство:
\((a + 7)(a + 3) > 0\), значит
\(a < -7\) или \(a > -3\).
Ответ: \(a \in (-\infty; -7) \cup (-3; +\infty)\).

7.
Имеются карточки с номерами 5, 6, 7, 8.
1) Количество различных пар:
\(N_1 = 4\) — выбор первой карточки,
\(N_2 = 3\) — выбор второй карточки,
\(N = N_1 \cdot N_2 = 12\).
2) Пары, сумма которых не кратна 2:
\(N_3 = \{5,6; 6,5; 5,8; 8,5; 7,6; 6,7; 7,8; 8,7\} = 8\).
3) Вероятность, что сумма не делится на 2:
\(P = \frac{N_3}{N} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).
Ответ: \(\frac{2}{3}\).

1.
Рассмотрим неравенство \(7(2x — 3) \leq 10x + 19\). Начнем с раскрытия скобок в левой части. Умножая 7 на каждое слагаемое внутри скобок, получаем \(14x — 21\). Таким образом, неравенство приобретает вид \(14x — 21 \leq 10x + 19\). Следующим шагом перенесем все члены с переменной \(x\) в одну сторону, а свободные числа в другую. Для этого из обеих частей вычтем \(10x\) и прибавим 21: \(14x — 10x \leq 19 + 21\), что упрощается до \(4x \leq 40\). Теперь, чтобы найти \(x\), разделим обе части неравенства на 4, получая \(x \leq \frac{40}{4}\). Итоговое решение — все значения \(x\), которые меньше или равны 10. То есть множество решений: \(x \in (-\infty; 10]\).

2.
Дана квадратичная функция \(f(x) = 5 + 4x — x^2\), которую можно переписать как \(f(x) = -x^2 + 4x + 5\). Чтобы найти координаты вершины параболы, используем формулы для вершины квадратичной функции: \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(a = -1\), \(b = 4\). Подставляя, получаем \(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2\). Значение функции в вершине вычислим подставляя \(x_0\): \(y_0 = f(2) = 5 + 4 \cdot 2 — 2^2 = 5 + 8 — 4 = 9\). Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами \((2; 9)\). Для понимания поведения функции вычислим значения в нескольких точках справа от вершины: \(f(3) = 8\), \(f(4) = 5\), \(f(5) = 0\), что показывает убывание функции на промежутке после вершины.

1) Поскольку парабола направлена вниз (коэффициент при \(x^2\) отрицателен), функция возрастает на промежутке \(x \in (-\infty; 2]\), достигает максимума в точке \(x = 2\), затем убывает. 2) Для нахождения множества решений неравенства \(5 + 4x — x^2 \geq 0\) решим уравнение \(5 + 4x — x^2 = 0\). Перепишем как \(-x^2 + 4x + 5 = 0\) или \(x^2 — 4x — 5 = 0\). Найдем корни: дискриминант \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Корни: \(x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5\). Так как парабола направлена вниз, функция будет неотрицательной между корнями, то есть на промежутке \([-1; 5]\).

3.
Рассмотрим систему уравнений:
\(\begin{cases} x — y = 3 \\ x^2 — xy — 2y^2 = 7 \end{cases}\).
Из первого уравнения выразим \(y\) через \(x\): \(y = x — 3\). Подставим это выражение во второе уравнение: \(x^2 — x(x — 3) — 2(x — 3)^2 = 7\). Раскроем скобки: \(x^2 — x^2 + 3x — 2(x^2 — 6x + 9) = 7\). Упростим: \(3x — 2x^2 + 12x — 18 = 7\). Перенесем все слагаемые в левую часть: \(2x^2 — 15x + 25 = 0\). Решим квадратное уравнение: дискриминант \(D = (-15)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 — 200 = 25\). Корни: \(x_1 = \frac{15 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2.5\), \(x_2 = \frac{15 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5\). Подставим обратно в выражение для \(y\): \(y_1 = 2.5 — 3 = -0.5\), \(y_2 = 5 — 3 = 2\). Ответ: \((2.5; -0.5)\) и \((5; 2)\).

4.
Дана арифметическая прогрессия с пятым членом \(a_5 = -0.8\) и одиннадцатым членом \(a_{11} = -5\). Формулы для членов прогрессии: \(a_n = a_1 + d(n — 1)\), где \(a_1\) — первый член, \(d\) — разность. Запишем систему:
\(\begin{cases} a_5 = a_1 + 4d = -0.8 \\ a_{11} = a_1 + 10d = -5 \end{cases}\).
Вычислим разность вычитанием уравнений: \((a_1 + 10d) — (a_1 + 4d) = -5 + 0.8\), что дает \(6d = -4.2\), откуда \(d = -\frac{4.2}{6} = -0.7\). Подставим в первое уравнение: \(a_1 + 4 \cdot (-0.7) = -0.8\), значит \(a_1 — 2.8 = -0.8\), откуда \(a_1 = 2\). Теперь найдем сумму первых 20 членов:
\(S_{20} = \frac{20}{2} (2a_1 + (20 — 1)d) = 10 (2 \cdot 2 + 19 \cdot (-0.7)) = 10 (4 — 13.3)=\)
\( = 10 \cdot (-9.3) = -93\).

5.
Пусть первый рабочий выполняет задание за \(x\) дней, второй — за \(y\) дней. Производительность первого рабочего — \(\frac{1}{x}\), второго — \(\frac{1}{y}\). Вместе они выполняют задание за 4 дня, значит за 4 дня они делают всю работу: \(\frac{4}{x} + \frac{4}{y} = 1\). Если первый рабочий выполнит треть задания, а второй завершит оставшуюся часть, затрачивая в сумме 10 дней, то время первого рабочего на треть работы — \(\frac{x}{3}\), а второго — \(\frac{2y}{3}\), их сумма равна 10: \(\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} = 10\). Умножим на 3: \(x + 2y = 30\). Из первого уравнения выразим сумму производительностей: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\). Подставим \(x = 30 — 2y\) в это уравнение: \(\frac{1}{30 — 2y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\). Умножим обе части на \(4y(30 — 2y)\): \(4y + 4(30 — 2y) = y(30 — 2y)\). Раскроем скобки: \(4y + 120 — 8y = 30y — 2y^2\). Упростим: \(-4y + 120 = 30y — 2y^2\). Перенесем все в левую часть: \(2y^2 — 34y + 120 = 0\). Разделим на 2: \(y^2 — 17y + 60 = 0\). Дискриминант: \(D = 17^2 — 4 \cdot 60 = 289 — 240 = 49\). Корни: \(y_1 = \frac{17 — 7}{2} = 5\), \(y_2 = \frac{17 + 7}{2} = 12\). Найдем соответствующие \(x\): \(x_1 = 30 — 2 \cdot 5 = 20\), \(x_2 = 30 — 2 \cdot 12 = 6\). Ответ: \(20\) дней; \(5\) дней или \(6\) дней; \(12\) дней.

6.
Рассмотрим квадратное уравнение \(x^2 + (a + 5)x + 1 = 0\). Для определения количества корней вычислим дискриминант:
\(D = (a + 5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = a^2 + 10a + 25 — 4 = a^2 + 10a + 21\). Условие существования двух различных корней — \(D > 0\), то есть \(a^2 + 10a + 21 > 0\). Найдем корни квадратного трехчлена: дискриминант \(D_1 = 10^2 — 4 \cdot 21 = 100 — 84 = 16\). Корни: \(a_1 = \frac{-10 — 4}{2} = -7\), \(a_2 = \frac{-10 + 4}{2} = -3\). Поскольку коэффициент при \(a^2\) положительный, неравенство выполняется при \(a < -7\) или \(a > -3\). Ответ: \(a \in (-\infty; -7) \cup (-3; +\infty)\).

7.
Имеются карточки с номерами 5, 6, 7, 8. Всего существует 4 варианта выбора первой карточки и 3 варианта выбора второй карточки (так как карточка не может быть выбрана дважды). Следовательно, количество различных пар равно \(4 \cdot 3 = 12\). Теперь рассмотрим пары, сумма номеров которых не делится на 2, то есть сумма — нечетное число. Четные номера — 6 и 8, нечетные — 5 и 7. Пары с нечетной суммой — это пары, в которых одна карточка четная, а другая нечетная. Перечислим их: \((5,6), (6,5), (5,8), (8,5), (7,6), (6,7), (7,8), (8,7)\), всего 8. Вероятность того, что сумма не делится на 2, равна отношению количества таких пар к общему количеству пар: \(\frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).