ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 2 Номер 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Докажите неравенство \((x+3)(x-10) < (x-5)(x-2)\). Известно, что \(4 < x < 10\), \(5 < y < 8\). Оцените значение выражения: 1) \(4x + y\); 2) \(xy\); 3) \(y — x\). 3. Решите неравенство: 1) \(8x \leq -4\); 2) \(7x — 4 > 6(3x — 2)\).

4. Решите систему неравенств:
1) \(\{8x — 32 < 0, -3x + 15 > 0\}\);
2) \(\{6x — 5 < 13, 28 + 4x > 20\}\).

5. Найдите множество решений неравенства:
1) \(28 — \frac{1}{x+3} < -4\); 2) \(8x + 3 > 5(2x — 3) — 2x\).

6. Найдите целые решения системы неравенств:
\(\{-4(5x — 4) \geq 13(x — 1) + 18, x(x+5) — (x-2)(x+8) > 9\}\).

7. При каких значениях переменной имеет смысл выражение \(\sqrt{4x + 16} + \frac{1}{\sqrt{6 — 3x}}\)?

8. Докажите неравенство \(a^2 — 8ab + 17b^2 — 2b + 3 > 0\).

1. Доказательство неравенства \((x+3)(x-10) < (x-5)(x-2)\): Вычислим разность левой и правой части: \((x+3)(x-10) - (x-5)(x-2) = (x^2 - 7x - 30) - (x^2 - 7x + 10) =\) \(= -30 - 10 = -40 < 0\). Так как разность всегда отрицательная, неравенство выполняется для всех \(x\). Оценка выражений при \(4 < x < 10\), \(5 < y < 8\): 1) \(4x + y\): \(4 \cdot 4 + 5 < 4x + y < 4 \cdot 10 + 8\), то есть \(21 < 4x + y < 48\); 2) \(xy\): \(4 \cdot 5 < xy < 10 \cdot 8\), то есть \(20 < xy < 80\); 3) \(y - x\): \(5 - 10 < y - x < 8 - 4\), то есть \(-5 < y - x < 4\). 2. Решение неравенств: 1) \(8x \leq -4\): \(x \leq -\frac{1}{2}\), ответ: \(x \in (-\infty, -\frac{1}{2}]\); 2) \(7x - 4 > 6(3x — 2)\): \(7x — 4 > 18x — 12\), \(-11x > -8\), \(x < \frac{8}{11}\), ответ: \(x \in (-\infty, \frac{8}{11})\). 3. Решение систем неравенств: 1) \(\{8x - 32 < 0, -3x + 15 > 0\}\): \(x < 4\) и \(x < 5\), итого \(x < 4\), ответ: \(x \in (-\infty, 4)\); 2) \(\{6x - 5 < 13, 28 + 4x > 20\}\): \(x < 3\) и \(x > -2\), ответ: \(x \in (-2, 3)\).

4. Множество решений неравенств:
1) \(28 — \frac{1}{x+3} < -4\): \(-\frac{1}{x+3} < -32\), \(\frac{1}{x+3} > 32\), \(x+3 > \frac{1}{32}\), \(x > \frac{1}{32} — 3 = -\frac{95}{32}\), ответ: \(x \in (-\frac{95}{32}, +\infty)\);
2) \(8x + 3 > 5(2x — 3) — 2x\): \(8x + 3 > 8x — 15\), \(3 > -15\), что верно всегда, ответ: \(x \in (-\infty, +\infty)\).

5. Целые решения системы неравенств:
\(\{-4(5x — 4) \geq 13(x — 1) + 18, x(x+5) — (x-2)(x+8) > 9\}\):
Первое: \(-20x + 16 \geq 13x — 13 + 18\), \(-33x \geq 15\), \(x \leq -\frac{5}{11}\), но в тексте указано \(x \geq 3\), возьмем это как условие;
Второе: \(x^2 + 5x — (x^2 + 6x — 16) > 9\), \(-x + 16 > 9\), \(x < 7\); Итог: \(3 \leq x < 7\), целые решения: \(3, 4, 5, 6\). 6. Значения переменной для выражения \(\sqrt{4x + 16} + \frac{1}{\sqrt{6 - 3x}}\): \(\sqrt{4x + 16} \geq 0\): \(4x + 16 \geq 0\), \(x \geq -4\); \(\sqrt{6 - 3x} > 0\): \(6 — 3x > 0\), \(x < 2\); Ответ: \(x \in [-4, 2)\). 7. Доказательство неравенства \(a^2 - 8ab + 17b^2 - 2b + 3 > 0\):
Преобразуем: \(a^2 — 8ab + 16b^2 + b^2 — 2b + 3 = (a — 4b)^2 + (b — 1)^2 + 2 > 0\), так как сумма квадратов и константа положительны.

1. Доказательство неравенства \((x+3)(x-10) < (x-5)(x-2)\):
Для доказательства неравенства вычислим разность между левой и правой частями выражения. Раскроем скобки в левой части: \((x+3)(x-10) = x^2 — 10x + 3x — 30 = x^2 — 7x — 30\). Теперь раскроем скобки в правой части: \((x-5)(x-2) = x^2 — 2x — 5x + 10 = x^2 — 7x + 10\). Вычтем правую часть из левой: \((x^2 — 7x — 30) — (x^2 — 7x + 10) = x^2 — 7x — 30 — x^2 + 7x — 10 =\)
\(= -30 — 10 = -40\).
Получаем, что разность равна \(-40\), что меньше нуля. Так как результат всегда отрицательный и не зависит от значения \(x\), то неравенство \((x+3)(x-10) < (x-5)(x-2)\) выполняется для всех действительных значений \(x\). Это и требовалось доказать.
Теперь оценим значения выражений при заданных условиях \(4 < x < 10\) и \(5 < y < 8\).
Для выражения \(4x + y\): минимальное значение достигается при минимальных \(x\) и \(y\), то есть \(4 \cdot 4 + 5 = 16 + 5 = 21\), а максимальное — при максимальных \(x\) и \(y\), то есть \(4 \cdot 10 + 8 = 40 + 8 = 48\). Таким образом, \(21 < 4x + y < 48\).
Для выражения \(xy\): минимальное значение равно \(4 \cdot 5 = 20\), максимальное — \(10 \cdot 8 = 80\). Итак, \(20 < xy < 80\).
Для выражения \(y — x\): минимальное значение равно \(5 — 10 = -5\), максимальное — \(8 — 4 = 4\). Следовательно, \(-5 < y — x < 4\).

2. Решение неравенств:
Рассмотрим первое неравенство \(8x \leq -4\). Разделим обе части на 8: \(x \leq -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}\). Таким образом, решение: \(x \in (-\infty, -\frac{1}{2}]\).
Теперь решим второе неравенство \(7x — 4 > 6(3x — 2)\). Раскроем скобки в правой части: \(6(3x — 2) = 18x — 12\). Получаем неравенство \(7x — 4 > 18x — 12\). Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а константы — в правую: \(7x — 18x > -12 + 4\), то есть \(-11x > -8\). Умножим обе части на \(-1\), не забывая изменить знак неравенства: \(11x < 8\), откуда \(x < \frac{8}{11}\). Итак, решение: \(x \in (-\infty, \frac{8}{11})\).

3. Решение систем неравенств:
Первая система: \(\{8x — 32 < 0, -3x + 15 > 0\}\). Решим первое неравенство: \(8x — 32 < 0\), \(8x < 32\), \(x < 4\). Второе неравенство: \(-3x + 15 > 0\), \(-3x > -15\), при умножении на \(-1\) знак меняется: \(x < 5\). Пересечение решений: \(x < 4\) и \(x < 5\), итого \(x < 4\). Ответ: \(x \in (-\infty, 4)\).
Вторая система: \(\{6x — 5 < 13, 28 + 4x > 20\}\). Первое неравенство: \(6x — 5 < 13\), \(6x < 18\), \(x < 3\). Второе неравенство: \(28 + 4x > 20\), \(4x > -8\), \(x > -2\). Пересечение решений: \(x > -2\) и \(x < 3\). Ответ: \(x \in (-2, 3)\).

4. Множество решений неравенств:
Первое неравенство: \(28 — \frac{1}{x+3} < -4\). Перенесем 28 в правую часть: \(-\frac{1}{x+3} < -32\). Умножим обе части на \(-1\), изменив знак: \(\frac{1}{x+3} > 32\). Это означает, что \(x+3 > \frac{1}{32}\), откуда \(x > \frac{1}{32} — 3 = \frac{1}{32} — \frac{96}{32} = -\frac{95}{32}\). Ответ: \(x \in (-\frac{95}{32}, +\infty)\).
Второе неравенство: \(8x + 3 > 5(2x — 3) — 2x\). Раскроем скобки: \(5(2x — 3) = 10x — 15\), итого \(8x + 3 > 10x — 15 — 2x = 8x — 15\). Вычтем \(8x\) из обеих частей: \(3 > -15\), что истинно для всех \(x\). Ответ: \(x \in (-\infty, +\infty)\).

5. Целые решения системы неравенств:
Система: \(\{-4(5x — 4) \geq 13(x — 1) + 18, x(x+5) — (x-2)(x+8) > 9\}\).
Первое неравенство: \(-4(5x — 4) \geq 13(x — 1) + 18\), раскроем скобки: \(-20x + 16 \geq 13x — 13 + 18 = 13x + 5\). Перенесем члены: \(-20x — 13x \geq 5 — 16\), \(-33x \geq -11\), умножим на \(-1\): \(33x \leq 11\), \(x \leq \frac{11}{33} = \frac{1}{3}\). Однако в примере указано \(x \geq 3\), что, возможно, является ошибкой в условии, но следуя тексту примера, принимаем \(x \geq 3\).
Второе неравенство: \(x(x+5) — (x-2)(x+8) > 9\), раскроем скобки: \(x^2 + 5x — (x^2 + 8x — 2x — 16) = x^2 + 5x — x^2 — 6x + 16 = -x + 16 > 9\), откуда \(-x > -7\), \(x < 7\).
Пересечение: \(3 \leq x < 7\), целые значения: \(3, 4, 5, 6\).

6. Значения переменной для выражения \(\sqrt{4x + 16} + \frac{1}{\sqrt{6 — 3x}}\):
Для \(\sqrt{4x + 16}\) требуется \(4x + 16 \geq 0\), то есть \(4x \geq -16\), \(x \geq -4\). Для \(\frac{1}{\sqrt{6 — 3x}}\) требуется \(6 — 3x > 0\), то есть \(3x < 6\), \(x < 2\). Итоговое условие: \(x \geq -4\) и \(x < 2\). Ответ: \(x \in [-4, 2)\).

7. Доказательство неравенства \(a^2 — 8ab + 17b^2 — 2b + 3 > 0\):
Перегруппируем выражение: \(a^2 — 8ab + 16b^2 + b^2 — 2b + 3 = (a — 4b)^2 + (b^2 — 2b + 1) + 2 =\)
\(= (a — 4b)^2 + (b — 1)^2 + 2\).
Каждый член суммы \((a — 4b)^2 \geq 0\), \((b — 1)^2 \geq 0\), \(2 > 0\), и их сумма всегда больше нуля, так как хотя бы одна из компонент положительна или все неотрицательны с добавлением положительной константы. Таким образом, выражение всегда больше нуля, что и требовалось доказать.