ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 2 Номер 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите неравенство:
1) \(x^2 + 4x — 21 > 0\);
3) \(x^2 > 81\);
4) \(x^2 + 14x + 49 > 0\);
2) \(x^2 — 6x + 11 > 0\);

2. Решите систему уравнений
\(\begin{cases} 2x + y = 7, \\ x^2 — xy = 6. \end{cases}\)

3. Найдите область определения функции:
1) \(y = \sqrt{4x — x^2}\);
2) \(y = 8\sqrt{12 + x — x^2}\);
\(y = 2x — x^2\),

4. Решите графически систему уравнений
\(\begin{cases} 2x + y = 3. \end{cases}\)

5. При каких значениях \(a\) уравнение \(x^2 + 8ax — 15a + 1 = 0\) имеет два действительных корня?

6. Решите систему уравнений
\(\begin{cases} x^2 — 4xy + 4y^2 = 25, \\ x + 2y = 3. \end{cases}\)

1.
Решить неравенство:
1) \(x^2 + 4x — 21 > 0\);
\(D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100\), тогда: \(x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = -7\), \(x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3\);
\((x + 7)(x — 3) > 0\); \(x < -7\) или \(x > 3\);
Ответ: \(x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty)\).
2) \(x^2 — 6x + 11 > 0\);
\(D = 6^2 — 4 \cdot 11 = 36 — 44 = -8\); \(D < 0\) и \(a > 0\), значит \(x \in \mathbb{R}\);
Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).
3) \(x^2 > 81\); \(x^2 — 81 > 0\); \((x + 9)(x — 9) > 0\); \(x < -9\) или \(x > 9\);
Ответ: \(x \in (-\infty; -9) \cup (9; +\infty)\).
4) \(x^2 + 14x + 49 > 0\); \((x + 7)^2 > 0\); \(x + 7 \neq 0\); \(x \neq -7\);
Ответ: \(x \in (-\infty; -7) \cup (-7; +\infty)\).

2.
Решить систему уравнений:
\(\begin{cases} x^2 — xy = 6 \\ 2x + y = 7 \end{cases}\)
1) Из первого уравнения: \(y = 7 — 2x\);
2) Из второго уравнения: \(x^2 — xy = 6\); \(x^2 — x(7 — 2x) = 6\); \(x^2 — 7x + 2x^2 = 6\); \(3x^2 — 7x — 6 = 0\);
\(D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 6 = 49 + 72 = 121\), тогда:
\(x_1 = \frac{7 — 11}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3\);
\(y_1 = 7 — 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 7 + \frac{4}{3} = \frac{25}{3}\); \(y_2 = 7 — 2 \cdot 3 = 7 — 6 = 1\);
Ответ: \(\left(-\frac{2}{3}; \frac{25}{3}\right)\), \((3; 1)\).

3.

Найти область определения функции:
1) \(y = \sqrt{4x — x^2}\);
Выражение имеет смысл при: \(4x — x^2 \geq 0\); \(x^2 — 4x \leq 0\); \(x(x — 4) \leq 0\); \(0 \leq x \leq 4\);
Ответ: \(x \in [0; 4]\).
2) \(y = \frac{1}{\sqrt{12 + x — x^2}}\);
Выражение имеет смысл при: \(12 + x — x^2 > 0\); \(x^2 — x — 12 < 0\);
\(D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49\), тогда: \(x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4\);
\((x + 3)(x — 4) < 0\); \(-3 < x < 4\);
Ответ: \(x \in (-3; 4)\).

4.
Решить графически систему уравнений:
\(\begin{cases} y = 2x — x^2 \\ 2x + y = 3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y = 2x — x^2 \\ y = 3 — 2x \end{cases}\)
1) \(y = 2x — x^2\) — уравнение параболы: \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1\); \(y_0 = 2 \cdot 1 — 1^2 = 2 — 1 = 1\);
2) \(y = 3 — 2x\) — уравнение прямой;
3) Графики функций;
Ответ: \((1; 1)\); \((3; -3)\).

5.
Дано уравнение:
\(x^2 + 8ax — 15a + 1 = 0\); \(x^2 + (8a)x + (1 — 15a) = 0\);
1) Найдем дискриминант: \(D = (8a)^2 — 4 \cdot (1 — 15a) = 64a^2 — 4 + 60a\);
2) Уравнение имеет два корня, если \(D > 0\): \(64a^2 — 4 + 60a > 0 \mid :4\); \(16a^2 + 15a — 1 > 0\);
\(D = 15^2 + 4 \cdot 16 \cdot 1 = 225 + 64 = 289\), тогда: \(a_1 = \frac{-15 — 17}{2 \cdot 16} = \frac{-32}{32} = -1\); \(a_2 = \frac{-15 + 17}{2 \cdot 16} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}\);
\((a + 1)\left(a — \frac{1}{16}\right) > 0\); \(a < -1\) или \(a > \frac{1}{16}\);
Ответ: \(a \in (-\infty; -1) \cup \left(\frac{1}{16}; +\infty\right)\).

6.
Решить систему уравнений:
\(\begin{cases} x^2 — 4xy + 4y^2 = 25 \\ x + 2y = 3 \end{cases}\)
1) Из второго уравнения: \(x + 2y = 3\); \(x = 3 — 2y\);
2) Из первого уравнения: \(x^2 — 4xy + 4y^2 = 25\); \((3 — 2y)^2 — 4y(3 — 2y) + 4y^2 = 25\); \(9 — 12y + 4y^2 — 12y + 8y^2 + 4y^2 = 25\); \(16y^2 — 24y — 16 = 0 \mid :8\); \(2y^2 — 3y — 2 = 0\);
\(D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25\), тогда: \(y_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5\); \(y_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2\);
\(x_1 = 3 — 2 \cdot (-0.5) = 3 + 1 = 4\); \(x_2 = 3 — 2 \cdot 2 = 3 — 4 = -1\);
Ответ: \((4; -0.5)\); \((-1; 2)\).

1.
Решим неравенство \(x^2 + 4x — 21 > 0\).
Сначала найдем корни уравнения \(x^2 + 4x — 21 = 0\). Дискриминант: \(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100\). Тогда корни: \(x_1 = \frac{-4 — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 — 10}{2} = -7\), \(x_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3\).
Раскладываем на множители: \((x + 7)(x — 3) > 0\). Определяем знаки на интервалах: решение \(x < -7\) или \(x > 3\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty)\).

Решим неравенство \(x^2 — 6x + 11 > 0\).
Дискриминант: \(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 — 44 = -8\). Так как \(D < 0\) и коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство выполняется для всех \(x\).
Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).

Решим неравенство \(x^2 > 81\).
Приведем к виду \(x^2 — 81 > 0\), или \((x — 9)(x + 9) > 0\). Корни \(x = 9\) и \(x = -9\). Решение: \(x < -9\) или \(x > 9\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -9) \cup (9; +\infty)\).

Решим неравенство \(x^2 + 14x + 49 > 0\).
Приведем к виду \((x + 7)^2 > 0\). Квадрат всегда больше нуля, кроме точки \(x = -7\), где он равен нулю. Решение: \(x \neq -7\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -7) \cup (-7; +\infty)\).

2.
Решим систему уравнений \(\begin{cases} x^2 — xy = 6 \\ 2x + y = 7 \end{cases}\).
Из второго уравнения выражаем \(y = 7 — 2x\). Подставляем в первое: \(x^2 — x(7 — 2x) = 6\), раскрываем скобки: \(x^2 — 7x + 2x^2 = 6\), приводим к виду: \(3x^2 — 7x — 6 = 0\).
Дискриминант: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121\). Корни: \(x_1 = \frac{7 — \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 — 11}{6} = -\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 11}{6} = 3\).
Находим \(y_1 = 7 — 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 7 + \frac{4}{3} = \frac{25}{3}\), \(y_2 = 7 — 2 \cdot 3 = 1\).
Ответ: \(\left(-\frac{2}{3}; \frac{25}{3}\right)\), \((3; 1)\).

3.

Найдем область определения функции \(y = \sqrt{4x — x^2}\).
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \(4x — x^2 \geq 0\), или \(x^2 — 4x \leq 0\), что эквивалентно \(x(x — 4) \leq 0\). Решение: \(0 \leq x \leq 4\).
Ответ: \(x \in [0; 4]\).

Найдем область определения функции \(y = \frac{1}{\sqrt{12 + x — x^2}}\).
Выражение под корнем должно быть положительным: \(12 + x — x^2 > 0\), или \(x^2 — x — 12 < 0\). Дискриминант: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\). Корни: \(x_1 = \frac{1 — \sqrt{49}}{2} = \frac{1 — 7}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4\). Решение: \(-3 < x < 4\).
Ответ: \(x \in (-3; 4)\).

4.
Решим графически систему уравнений \(\begin{cases} y = 2x — x^2 \\ 2x + y = 3 \end{cases}\), или \(\begin{cases} y = 2x — x^2 \\ y = 3 — 2x \end{cases}\).
Первое уравнение \(y = 2x — x^2\) — парабола, вершина находится в точке \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1\), \(y = 2 \cdot 1 — 1^2 = 1\).
Второе уравнение \(y = 3 — 2x\) — прямая.
Точки пересечения графиков: \((1; 1)\) и \((3; -3)\).
Ответ: \((1; 1)\); \((3; -3)\).

5.
Дано уравнение \(x^2 + 8ax — 15a + 1 = 0\), или \(x^2 + (8a)x + (1 — 15a) = 0\).
Найдем дискриминант: \(D = (8a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (1 — 15a) = 64a^2 — 4 + 60a\).
Уравнение имеет два корня, если \(D > 0\): \(64a^2 + 60a — 4 > 0\). Делим на 4: \(16a^2 + 15a — 1 > 0\). Дискриминант: \(D = 15^2 — 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 225 + 64 = 289\). Корни: \(a_1 = \frac{-15 — \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{-15 — 17}{32} = -1\), \(a_2 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{-15 + 17}{32} = \frac{1}{16}\). Решение: \(a < -1\) или \(a > \frac{1}{16}\).
Ответ: \(a \in (-\infty; -1) \cup \left(\frac{1}{16}; +\infty\right)\).

6.
Решим систему уравнений \(\begin{cases} x^2 — 4xy + 4y^2 = 25 \\ x + 2y = 3 \end{cases}\).
Из второго уравнения: \(x = 3 — 2y\). Подставляем в первое: \((3 — 2y)^2 — 4y(3 — 2y) + 4y^2 = 25\), раскрываем: \(9 — 12y + 4y^2 — 12y + 8y^2 + 4y^2 = 25\), приводим к виду: \(16y^2 — 24y + 9 — 25 = 0\), или \(16y^2 — 24y — 16 = 0\). Делим на 8: \(2y^2 — 3y — 2 = 0\). Дискриминант: \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\). Корни: \(y_1 = \frac{3 — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 5}{4} = -0.5\), \(y_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = 2\).
Находим \(x_1 = 3 — 2 \cdot (-0.5) = 3 + 1 = 4\), \(x_2 = 3 — 2 \cdot 2 = 3 — 4 = -1\).
Ответ: \((4; -0.5)\); \((-1; 2)\).