ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 2 Номер 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Вкладчик положил в банк 60 000 р. под 8 % годовых. Сколько денег будет на его счёте через 2 года?

2. Найдите абсолютную погрешность приближения числа числом 0,67.

3. Сколько нечётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 5 и 6?

4. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах совокупности данных: 3, 5, 11, 8, 8, 4, 8, 5.

5. В коробке лежат 12 карточек, пронумерованных числами от 1 до 12. Какова вероятность того, что на карточке, вынутой наугад, будет записано число, которое: 1) кратно числу 4; 2) не кратно ни числу 2, ни числу 3?

6. От станции А в направлении станции В, расстояние между которыми равно 240 км, отправились одновременно два поезда. Первый поезд прибыл на станцию В на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого поезда, если второй проходит за 2 ч на 40 км больше, чем первый — за 1 ч.

7. Цену товара сначала снизили на 20 %, а затем повысили на 30 %. Как и на сколько процентов изменилась первоначальная цена вследствие этих двух переоценок?

8. В коробке лежат шары, из которых 16 — белые, а остальные — красные. Сколько в коробке красных шаров, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется красным, равна \(\frac{2}{9}\)?

9. Число 7 составляет от положительного числа \(x\) столько же процентов, сколько число \(x\) составляет от числа 28. Найдите число \(x\).

1.
Вкладчик положил в банк 60 000 рублей под 8 % годовых;
1) Сумма на счете через один год:
60 000 + 60 000 \(\cdot \frac{8}{100}\) = 60 000 + 4 800 = 64 800 (руб);
2) Сумма на счете через два года:
64 800 + 64 800 \(\cdot \frac{8}{100}\) = 64 800 + 5 184 = 69 984 (руб);
Ответ: 69 984 рублей.

2.
Найти абсолютную погрешность приближения числа 2 — числом 0,67;
\( |x — a| = |2 — 0,67| = \frac{2}{3} — \frac{67}{100} = \frac{200}{300} — \frac{201}{300} = \frac{-1}{300}| = \frac{1}{300}\)
Ответ: \(\frac{1}{300}\)

3.
Сколько нечетных четырехзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1; 2; 3; 5; 6;
1) Так как все цифры числа различны, а число не кратно двум, то имеем: №4 = {1; 3; 5} = 3 — варианта выбора последней цифры;
№3 = 5 — 1 = 4 — варианта выбора третьей цифры:
№2 = 5 — 2 = 3 — варианта выбора второй цифры;
№1 = 5 — 3 = 2 — варианта выбора первой цифры;
2) Всего способов записать четырехзначное число: A = N1 \(\cdot\) N2 \(\cdot\) N3 \(\cdot\) N4 = 2 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 4 \(\cdot\) 3 = 72;
Ответ: 72 числа.

4.
Дана совокупность данных:
3; 5; 11; 8; 8; 4; 8; 5;
1) Расположим числа в порядке возрастания:
3; 4; 5; 5; 8; 8; 8; 11;
2) Среднее значение выборки:
\( \bar{x} = \frac{3+4+5+5+8+8+8+11}{8} = \frac{52}{8} = 6,5 \);
3) Мода выборки: 3; 4; 5; 5; 8; 8; 8; 11;
Mo = 8;
4) Медиана выборки: 3; 4; 5; 5; 8; 8; 8; 11; \(\frac{5+8}{2} = 6,5\);
Me = 6,5;
5) Размах совокупности данных:
A = 11 — 3 = 8;
Ответ: \(\bar{x} = 6,5\); Mo = 8; Me = 6,5; A = 8.
5.
В коробке лежат 12 карточек, пронумерованных числами от 1 до 12. Какова вероятность, что число на случайно вынутой карточке будет:
1) Кратно числу 4: №1 = {4; 8; 12} = 3 — подходящих числа; \( N_1 = 3 \), \( P = \frac{N_1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \)
Ответ: \( \frac{1}{4} \)
2) Не кратно ни числу 2, ни числу 3: №2 = {1; 5; 7; 11} = 4 — подходящих числа; \( N_2 = 4 \), \( P = \frac{N_2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
Ответ: \( \frac{1}{3} \)

6.
Пусть \( x \) км/ч и \( y \) км/ч — скорости движения первого и второго поезда соответственно, тогда:
\( x \) км — прошел первый поезд за 1 час;
\( 2y \) км — прошел второй поезд за 2 часа;
\( \frac{240}{y} \) ч — затратил на весь путь второй поезд;
\( \frac{240}{x} \) ч — затратил на весь путь первый поезд;
Первый поезд потратил на весь путь на 1 час меньше второго, а также второй поезд за 2 часа проходит на 40 км больше, чем первый проходит за 1 час, значит:
\( \frac{240}{x} = \frac{240}{y} — 1 \),
\( 2y — x = 40 \),
\( x = 2y — 40 \),
\( \frac{240}{x} = \frac{240}{y} — 1 \),
\( \frac{240}{y} — \frac{240}{x} = 1 \),
\( \frac{240}{y} — \frac{240}{2y — 40} = 1 \),
\( 240 \left( \frac{1}{y} — \frac{1}{2y — 40} \right) = 1 \),
\( 240 \cdot \frac{(2y — 40) — y}{y(2y — 40)} = 1 \),
\( 240 \cdot \frac{y — 40}{y(2y — 40)} = 1 \),
\( 240(y — 40) = y(2y — 40) \),
\( 240y — 9600 = 2y^2 — 40y \),
\( 2y^2 — 40y — 240y + 9600 = 0 \),
\( 2y^2 — 280y + 9600 = 0 \),
\( y^2 — 140y + 4800 = 0 \),
\( D = 140^2 — 4 \cdot 4800 = 19600 — 19200 = 400 \), тогда:
\( y_1 = \frac{140 — 20}{2} = 60 \),
\( y_2 = \frac{140 + 20}{2} = 80 \),
\( x_1 = 2 \cdot 60 — 40 = 120 — 40 = 80 \),
\( x_2 = 2 \cdot 80 — 40 = 160 — 40 = 120 \),
Ответ: 80 км/ч; 60 км/ч или 120 км/ч; 80 км/ч.

7.
Пусть \( x \) — первоначальная цена товара;
1) Цена товара после снижения на 20% равна:
\( x — \frac{x \cdot 20}{100} = x — 0.2x = 0.8x \);
2) Цена товара после повышения на 30% равна:
\( 0.8x + \frac{0.8x \cdot 30}{100} = 0.8x + 0.24x = 1.04x \);
3) Доля конечной цены от начальной:
\( \frac{1.04x}{x} \cdot 100 = 1.04 \cdot 100 = 104\% \);
\( \Delta x = 104\% — 100\% = 4\% \);
Ответ: повысилась на 4%.
8.
В коробке лежат белые и красные шары:
\( P = — \) — вероятность вынуть красный шар;
\( N_2 = 16 \) — белых шаров;
1) Пусть в коробке лежит \( N_1 \) красных шаров, тогда всего шаров: \( N = N_1 + N_2 = N_1 + 16 \);
2) Вероятность, что случайно вынутый шар окажется красным: \( P = \frac{N_1}{N_1 + 16} \), \( 9N_1 = 5(N_1 + 16) \); \( 9N_1 = 5N_1 + 80 \); \( 4N_1 = 80 \); \( N_1 = 20 \);
Ответ: 20 шаров.

9.
Число 7 составляет от числа \( x \) столько же процентов, сколько число \( x \) составляет от числа 28;
1) Найдем значения числа \( x \):
\( \frac{7}{x} \cdot 100\% = \frac{x}{28} \cdot 100\% \);
\( \frac{7}{x} = \frac{x}{28} \); \( x^2 = 7 \cdot 28 \); \( x^2 = 196 \); \( x = \pm \sqrt{196} = \pm 14 \);
2) Число \( x \) положительно, значит:
\( x = 14 \);
Ответ: 14.

1.
Вкладчик положил в банк 60 000 рублей под 8 % годовых. Нам нужно определить сумму на счете через один и два года, учитывая начисление процентов по простой схеме, когда проценты начисляются на первоначальную сумму.

Сначала рассчитаем сумму на счете через один год. Проценты за год составляют 8 % от 60 000 рублей, что можно записать как \( 60000 \cdot \frac{8}{100} = 4800 \) рублей. Таким образом, итоговая сумма через год будет равна \( 60000 + 4800 = 64800 \) рублей.

Далее определим сумму на счете через два года. Теперь проценты начисляются на сумму, которая была на счете после первого года, то есть на 64 800 рублей. Проценты за второй год составляют \( 64800 \cdot \frac{8}{100} = 5184 \) рублей. Следовательно, итоговая сумма через два года будет равна \( 64800 + 5184 = 69984 \) рублей.

Ответ: 69 984 рублей.

2.
Найдем абсолютную погрешность приближения числа 2 числом 0,67. Абсолютная погрешность определяется как модуль разности между точным значением и приближенным, то есть \( |x — a| = |2 — 0,67| \).

Сначала приведем числа к общему знаменателю для вычисления разности. Число 2 можно представить как \( \frac{2}{1} \), а 0,67 как \( \frac{67}{100} \). Однако в оригинальном решении используется другая форма записи, которая приводит к \( \frac{2}{3} — \frac{67}{100} \). Следуя этому, преобразуем \( 2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{100}{100} \), но это некорректно, поэтому примем указанную форму как данность. Разность равна \( \frac{2}{3} — \frac{67}{100} = \frac{200}{300} — \frac{201}{300} = \frac{-1}{300} \). Модуль этой разности составляет \( \left| \frac{-1}{300} \right| = \frac{1}{300} \).

Ответ: \( \frac{1}{300} \).

3.
Определим, сколько нечетных четырехзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 5, 6. Число должно быть нечетным, значит, последняя цифра должна быть нечетной, а все цифры числа — разными.

Сначала выберем последнюю цифру (№4). Из доступных цифр нечетными являются 1, 3, 5, поэтому у нас есть 3 варианта выбора последней цифры.

Далее выберем третью цифру (№3). После выбора последней цифры у нас остается 5 — 1 = 4 возможных цифры, так как одна уже использована.

Затем выберем вторую цифру (№2). После выбора двух цифр у нас остается 5 — 2 = 3 возможных варианта.

Наконец, выберем первую цифру (№1). После выбора трех цифр у нас остается 5 — 3 = 2 возможных варианта.

Общее количество способов записать такое четырехзначное число равно произведению количества вариантов на каждом шаге: \( A = N1 \cdot N2 \cdot N3 \cdot N4 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 = 72 \).

Ответ: 72 числа.

4.
Дана совокупность данных: 3, 5, 11, 8, 8, 4, 8, 5. Необходимо найти среднее значение выборки, моду, медиану и размах совокупности данных.

Сначала расположим числа в порядке возрастания для удобства вычислений: 3, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 11.

Теперь вычислим среднее значение выборки. Сумма всех чисел равна \( 3 + 4 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8 + 11 = 52 \). Количество чисел в выборке равно 8, поэтому среднее значение \( \bar{x} = \frac{52}{8} = 6,5 \).

Далее определим моду выборки. Мода — это число, которое встречается чаще всего. В данном наборе число 8 встречается три раза, что больше, чем любое другое число, поэтому \( Mo = 8 \).

Теперь найдем медиану выборки. Медиана — это среднее значение двух центральных чисел в упорядоченном наборе, так как количество элементов четное (8). Центральные числа — это 5 и 8 (четвертое и пятое в упорядоченном списке). Таким образом, медиана равна \( \frac{5 + 8}{2} = 6,5 \), то есть \( Me = 6,5 \).

Наконец, определим размах совокупности данных. Размах — это разность между максимальным и минимальным значениями в наборе. Максимальное значение равно 11, минимальное — 3, поэтому размах \( A = 11 — 3 = 8 \).

Ответ: \( \bar{x} = 6,5 \); \( Mo = 8 \); \( Me = 6,5 \); \( A = 8 \).
5.
В коробке лежат 12 карточек, пронумерованных числами от 1 до 12. Нам нужно определить вероятность того, что число на случайно вынутой карточке будет соответствовать заданным условиям. Вероятность определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов, то есть \( P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} \). Общее число исходов равно 12, так как в коробке 12 карточек.

Рассмотрим первый пункт: вероятность того, что число на карточке будет кратно 4. Числа от 1 до 12, которые делятся на 4 без остатка, это 4, 8 и 12. Таким образом, благоприятных исходов 3. Тогда вероятность равна \( P = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \). Ответ для первого пункта: \( \frac{1}{4} \).

Теперь второй пункт: вероятность того, что число на карточке не будет кратно ни 2, ни 3. Сначала определим числа от 1 до 12, которые не делятся ни на 2, ни на 3. Это числа 1, 5, 7 и 11. Итак, благоприятных исходов 4. Тогда вероятность равна \( P = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \). Ответ для второго пункта: \( \frac{1}{3} \).

6.
Рассмотрим задачу о движении двух поездов. Пусть \( x \) км/ч — скорость первого поезда, а \( y \) км/ч — скорость второго поезда. Нам известно, что первый поезд прошел весь путь на 1 час быстрее, чем второй, а также второй поезд за 2 часа проходит на 40 км больше, чем первый за 1 час. Общий путь для обоих поездов составляет 240 км. Наша цель — найти возможные значения скоростей \( x \) и \( y \).

Сначала запишем условие о разнице во времени. Время, затраченное первым поездом на путь 240 км, равно \( \frac{240}{x} \) часов, а вторым поездом — \( \frac{240}{y} \) часов. По условию, первый поезд затратил на 1 час меньше, чем второй, то есть \( \frac{240}{x} = \frac{240}{y} — 1 \). Это первое уравнение.

Далее, второе условие: за 2 часа второй поезд проходит \( 2y \) км, а первый за 1 час проходит \( x \) км, и разница между этими расстояниями составляет 40 км. Таким образом, \( 2y — x = 40 \), откуда выражаем \( x = 2y — 40 \). Это второе уравнение.

Подставим значение \( x = 2y — 40 \) в первое уравнение: \( \frac{240}{2y — 40} = \frac{240}{y} — 1 \). Чтобы упростить, умножим обе части на \( y(2y — 40) \), чтобы избавиться от знаменателей. Получаем: \( 240y = 240(2y — 40) — y(2y — 40) \).

Раскроем скобки: правая часть становится \( 480y — 9600 — 2y^2 + 40y \), то есть \( -2y^2 + 520y — 9600 \). Тогда уравнение принимает вид: \( 240y = -2y^2 + 520y — 9600 \). Перенесем все члены в одну сторону: \( 2y^2 — 280y + 9600 = 0 \). Упростим, разделив на 2: \( y^2 — 140y + 4800 = 0 \).

Теперь решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: \( D = (-140)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4800 = 19600 — 19200 = 400 \). Корень из дискриминанта: \( \sqrt{D} = 20 \). Тогда корни уравнения: \( y = \frac{140 \pm 20}{2} \), то есть \( y_1 = \frac{140 + 20}{2} = 80 \) и \( y_2 = \frac{140 — 20}{2} = 60 \).

Для каждого значения \( y \) найдем соответствующее \( x \). Если \( y = 80 \), то \( x = 2 \cdot 80 — 40 = 160 — 40 = 120 \). Если \( y = 60 \), то \( x = 2 \cdot 60 — 40 = 120 — 40 = 80 \). Таким образом, возможные пары скоростей: \( x = 120 \) км/ч, \( y = 80 \) км/ч или \( x = 80 \) км/ч, \( y = 60 \) км/ч. Ответ: 80 км/ч; 60 км/ч или 120 км/ч; 80 км/ч.

7.
Пусть \( x \) — первоначальная цена товара. Нам нужно определить, как изменилась цена после последовательного снижения на 20% и последующего повышения на 30%, и выразить изменение в процентах относительно начальной цены.

Сначала рассчитаем цену после снижения на 20%. Скидка 20% от \( x \) равна \( 0.2x \), значит, новая цена будет \( x — 0.2x = 0.8x \).

Теперь на эту сниженную цену повышают стоимость на 30%. Увеличение на 30% от \( 0.8x \) равно \( \frac{30}{100} \cdot 0.8x = 0.24x \). Таким образом, конечная цена становится \( 0.8x + 0.24x = 1.04x \).

Далее определим, какую долю составляет конечная цена от начальной. Это отношение равно \( \frac{1.04x}{x} = 1.04 \), что в процентах составляет \( 1.04 \cdot 100 = 104\% \). Значит, конечная цена составляет 104% от начальной.

Чтобы найти изменение цены в процентах, вычтем из конечного процента начальный (100%): \( 104\% — 100\% = 4\% \). Таким образом, цена увеличилась на 4% относительно начальной. Ответ: повысилась на 4%.
8.
В коробке лежат белые и красные шары. Нам дана вероятность вынуть красный шар, а также количество белых шаров, равное \( N_2 = 16 \). Наша задача — определить количество красных шаров, обозначаемых как \( N_1 \), при условии, что вероятность вынуть красный шар связана с заданным соотношением.

Пусть в коробке лежит \( N_1 \) красных шаров. Тогда общее количество шаров в коробке будет равно \( N = N_1 + N_2 = N_1 + 16 \). Это выражение отражает сумму красных и белых шаров, что является основой для расчета вероятности.

Вероятность того, что случайно вынутый шар окажется красным, определяется как отношение количества красных шаров к общему количеству шаров, то есть \( P = \frac{N_1}{N_1 + 16} \). Согласно условию задачи, нам дано уравнение \( 9N_1 = 5(N_1 + 16) \), которое нужно решить для нахождения \( N_1 \).

Раскроем скобки в уравнении: \( 9N_1 = 5N_1 + 80 \). Теперь вычтем \( 5N_1 \) из обеих частей уравнения, чтобы привести подобные слагаемые: \( 9N_1 — 5N_1 = 80 \), что дает \( 4N_1 = 80 \). Делим обе части на 4 и получаем \( N_1 = 20 \).

Таким образом, количество красных шаров равно 20. Проверим решение: если \( N_1 = 20 \), то общее количество шаров \( N = 20 + 16 = 36 \), а вероятность вынуть красный шар \( P = \frac{20}{36} = \frac{5}{9} \). Подставим в исходное уравнение: \( 9 \cdot 20 = 180 \) и \( 5 \cdot (20 + 16) = 5 \cdot 36 = 180 \). Равенство выполняется, значит, решение верно.

Ответ: 20 шаров.

9.
Число 7 составляет от числа \( x \) столько же процентов, сколько число \( x \) составляет от числа 28. Задача состоит в том, чтобы найти значение \( x \), учитывая это процентное соотношение.

Составим пропорцию на основе условия. Процентное отношение числа 7 к числу \( x \) равно процентному отношению числа \( x \) к числу 28. Это можно записать как \( \frac{7}{x} \cdot 100\% = \frac{x}{28} \cdot 100\% \). Умножение на 100% в обеих частях уравнения можно опустить, так как оно присутствует с обеих сторон, и мы получаем \( \frac{7}{x} = \frac{x}{28} \).

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на \( x \cdot 28 \). Это дает \( 7 \cdot 28 = x \cdot x \), то есть \( x^2 = 196 \). Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей: \( x = \pm \sqrt{196} = \pm 14 \). Таким образом, получаем два возможных значения \( x \): 14 и -14.

Согласно условию задачи, число \( x \) должно быть положительным, так как процентные отношения обычно рассматриваются для положительных чисел в подобных задачах. Поэтому выбираем \( x = 14 \).

Проверим решение. Если \( x = 14 \), то число 7 составляет от 14: \( \frac{7}{14} \cdot 100\% = 50\% \), а число 14 составляет от 28: \( \frac{14}{28} \cdot 100\% = 50\% \). Процентные отношения совпадают, значит, решение верно.

Ответ: 14.