ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 2 Номер 5 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите шестнадцатый член и сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_1 = 10\) и \(a_n = 6\).

2. Найдите шестой член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_1 = -64\), а знаменатель \(q = 1\).

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \(-125, 25, -5, \dots\).

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии \((a_n)\), равного \(10,9\), если \(a_1 = 8,5\), а разность прогрессии \(d = 0,3\).

5. Какие два числа надо вставить между числами \(2\) и \(-54\), чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

6. При каком значении \(x\) значения выражений \(x + 1\), \(x + 5\) и \(2x + 4\) будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных \(8\), которые больше \(50\) и меньше \(180\).

1.
Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\):
\(a_1 = 10\) и \(a_2 = 6\);
1) Разность данной прогрессии: \(d = a_2 — a_1 = 6 — 10 = -4\);
2) Шестнадцатый член прогрессии:
\(a_n = a_1 + d(n — 1)\); \(a_n = 10 — 4(n — 1) = 10 — 4n + 4 = 14 — 4n\); \(a_{16} = 14 — 4 \cdot 16 = 14 — 64 = -50\);
3) Сумма тридцати первых членов прогрессии:
\(S_{30} = \frac{2a_1 + d(30 — 1)}{2} \cdot 30 = 15(2a_1 + 29d)\); \(S_{30} = 15 \cdot (2 \cdot 10 + 29 \cdot (-4)) = 15 \cdot (20 — 116)\); \(S_{30} = 15 \cdot (-96) = -1440\);
Ответ: \(a_{16} = -50\); \(S_{30} = -1440\).

2.
Дана геометрическая прогрессия \((b_n)\):
\(b_1 = -64\) и \(q = \frac{1}{2}\);
1) Шестой член прогрессии:
\(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\); \(b_n = -64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = -64 \cdot 2^{-(n-1)}=\)
\( = -2^{6 — (n-1)} = -2^{7-n}\);
\(b_6 = -2^{7-6} = -2^1 = -2\);
2) Сумма пяти первых членов прогрессии:
\(S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5 — 1}{q — 1} = -64 \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^5 — 1}{\frac{1}{2} — 1} = -64 \cdot \frac{\frac{1}{32} — 1}{-\frac{1}{2}} = -64 \cdot \frac{-\frac{31}{32}}{-\frac{1}{2}} = -64 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 =\)
\(= -2 \cdot 2 \cdot 31 = -124\);
Ответ: \(b_6 = -2\); \(S_5 = -124\).

3.
Дана геометрическая прогрессия \((b_n)\):
\(-125; 25; -5; \ldots\);
1) Первый член и знаменатель прогрессии:
\(b_1 = -125\), \(b_2 = 25\); \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{25}{-125} = -0,2\);
2) Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-125}{1 — (-0,2)} = \frac{-125}{1,2} = -\frac{125}{1,2} \cdot \frac{5}{5} = -\frac{625}{6} = -104\frac{1}{6}\);
Ответ: \(-104\frac{1}{6}\).

4.
Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\): \(a_1 = 8,5\) и \(d = 0,3\);
1) Формула \(n\)-го члена прогрессии:
\(a_n = a_1 + d(n — 1) = 8,5 + 0,3(n — 1)\); \(a_n = 8,5 + 0,3n — 0,3 = 8,2 + 0,3n\);
2) Номер члена, равного числу 10,9:
\(10,9 = 8,2 + 0,3n\); \(0,3n = 2,7\); \(n = \frac{2,7}{0,3} = \frac{27}{3} = 9\);
Ответ: 9.

5.
Между числами 2 и \(-54\) вставить два таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовывали геометрическую прогрессию;
1) Дана геометрическая прогрессия:
\(b_1 = 2\), \(b_4 = -54\); \(b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3\); \(-54 = 2 \cdot q^3\); \(q^3 = -\frac{54}{2} = -27\);
\(q = \sqrt[3]{-27} = -3\);
2) Четыре первых члена прогрессии:
\(b_1 = 2\); \(b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot (-3) = -6\); \(b_3 = b_2 \cdot q = -6 \cdot (-3) = 18\); \(b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot (-3) = -54\);
Ответ: 2; \(-6\); 18; \(-54\).
6.
Даны выражения: \(x + 1\); \(x + 5\); \(2x + 4\);
1) Дана геометрическая прогрессия: \(b_1 = x + 1\), \(b_2 = x + 5\), \(b_3 = 2x + 4\);
2) По свойству геометрической прогрессии: \(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\); \((x + 5)^2 = (x + 1)(2x + 4)\); \(x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 4x + 2x + 4\); \(x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 6x + 4\); \(x^2 — 4x — 21 = 0\); \(D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100\), тогда: \(x_1 = \frac{4 — 10}{2} = -3\) и \(x_2 = \frac{4 + 10}{2} = 7\);
3) Если \(x = -3\), тогда: \(b_1 = -3 + 1 = -2\); \(b_2 = -3 + 5 = 2\); \(b_3 = 2 \cdot (-3) + 4 = -6 + 4 = -2\);
4) Если \(x = 7\), тогда: \(b_1 = 7 + 1 = 8\); \(b_2 = 7 + 5 = 12\); \(b_3 = 2 \cdot 7 + 4 = 14 + 4 = 18\);
Ответ: \(-2; 2; -2\), если \(x = -3\); \(8; 12; 18\), если \(x = 7\).

7.
1) Уравнение всех натуральных чисел, кратных 8: \(a_n = 8n\);
2) Номер первого члена, большего числа 50: \(8n > 50\); \(4n > 25\); \(n > 6.25\); \(n = 7\);
3) Номер последнего члена, меньшего числа 180: \(8n < 180\); \(2n < 45\); \(n < 22.5\); \(n = 22\);
4) Количество подходящих членов: \(n = (22 — 7) + 1 = 16\);
5) Седьмой и двадцать второй члены прогрессии: \(a_7 = 7 \cdot 8 = 56\); \(a_{22} = 22 \cdot 8 = 176\);
6) Сумма членов прогрессии с седьмого по двадцать второй: \(S_{7-22} = \frac{a_7 + a_{22}}{2} \cdot 16 = \frac{56 + 176}{2} \cdot 16 = \frac{232}{2} \cdot 16 = 116 \cdot 16 = 1856\);
Ответ: 1856.

1.
Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\): \(a_1 = 10\) и \(a_2 = 6\).
Найдем разность данной прогрессии: \(d = a_2 — a_1 = 6 — 10 = -4\).
Теперь определим шестнадцатый член прогрессии по формуле \(a_n = a_1 + d(n — 1)\). Подставим значения: \(a_n = 10 + (-4)(n — 1) = 10 — 4n + 4 = 14 — 4n\). Для \(n = 16\): \(a_{16} = 14 — 4 \cdot 16 = 14 — 64 = -50\).
Далее вычислим сумму тридцати первых членов прогрессии по формуле \(S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n\). Для \(n = 30\): \(S_{30} = \frac{2 \cdot 10 + (-4)(30 — 1)}{2} \cdot 30 = 15 \cdot (20 + 29 \cdot (-4)) = 15 \cdot (20 — 116)=\)
\( = 15 \cdot (-96) = -1440\).
Ответ: \(a_{16} = -50\); \(S_{30} = -1440\).

2.
Дана геометрическая прогрессия \((b_n)\): \(b_1 = -64\) и \(q = \frac{1}{2}\).
Найдем шестой член прогрессии по формуле \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Подставим значения: \(b_n = -64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = -64 \cdot 2^{-(n-1)} = -2^{6 — (n-1)} = -2^{7-n}\). Для \(n = 6\): \(b_6 = -2^{7-6} = -2^1 = -2\).
Теперь вычислим сумму пяти первых членов прогрессии по формуле \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Для \(n = 5\): \(S_5 = -64 \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^5 — 1}{\frac{1}{2} — 1} = -64 \cdot \frac{\frac{1}{32} — 1}{-\frac{1}{2}} = -64 \cdot \frac{-\frac{31}{32}}{-\frac{1}{2}} = -64 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 = -2 \cdot 2 \cdot 31 =\)
\(= -124\).
Ответ: \(b_6 = -2\); \(S_5 = -124\).

3.
Дана геометрическая прогрессия \((b_n)\): \(-125; 25; -5; \ldots\).
Определим первый член и знаменатель прогрессии. Первый член \(b_1 = -125\), второй член \(b_2 = 25\). Тогда \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{25}{-125} = -0,2\).
Теперь найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставим значения: \(S = \frac{-125}{1 — (-0,2)} = \frac{-125}{1,2} = -\frac{125}{1,2} \cdot \frac{5}{5} = -\frac{625}{6} = -104\frac{1}{6}\).
Ответ: \(-104\frac{1}{6}\).

4.
Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\): \(a_1 = 8,5\) и \(d = 0,3\).
Составим формулу \(n\)-го члена прогрессии: \(a_n = a_1 + d(n — 1) = 8,5 + 0,3(n — 1) = 8,5 + 0,3n — 0,3 = 8,2 + 0,3n\).
Теперь найдем номер члена, равного числу 10,9. Решаем уравнение: \(10,9 = 8,2 + 0,3n\). Тогда \(0,3n = 10,9 — 8,2 = 2,7\), откуда \(n = \frac{2,7}{0,3} = \frac{27}{3} = 9\).
Ответ: 9.

5.
Между числами 2 и \(-54\) нужно вставить два таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовывали геометрическую прогрессию.
Дана геометрическая прогрессия: \(b_1 = 2\), \(b_4 = -54\). Используем формулу \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\), для \(n = 4\): \(b_4 = 2 \cdot q^{4-1} = 2 \cdot q^3\). Тогда \(-54 = 2 \cdot q^3\), откуда \(q^3 = -\frac{54}{2} = -27\), следовательно, \(q = \sqrt[3]{-27} = -3\).
Теперь найдем четыре первых члена прогрессии: \(b_1 = 2\); \(b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot (-3) = -6\); \(b_3 = b_2 \cdot q = -6 \cdot (-3) = 18\); \(b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot (-3) = -54\).
Ответ: 2; \(-6\); 18; \(-54\).
6.
Даны выражения: \(x + 1\), \(x + 5\), \(2x + 4\). Нам необходимо решить задачу, связанную с геометрической прогрессией, где эти выражения являются членами последовательности. Давайте разберем задание шаг за шагом, чтобы найти все возможные значения \(x\) и соответствующие члены прогрессии.

1) Дана геометрическая прогрессия: \(b_1 = x + 1\), \(b_2 = x + 5\), \(b_3 = 2x + 4\). Наша цель — определить, при каких значениях \(x\) эти три числа образуют геометрическую прогрессию, то есть выполняют свойство, при котором квадрат второго члена равен произведению первого и третьего членов.

2) По свойству геометрической прогрессии: \(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\). Подставим выражения: \((x + 5)^2 = (x + 1)(2x + 4)\). Раскроем левую часть уравнения: \((x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25\). Теперь раскроем правую часть: \((x + 1)(2x + 4) = x \cdot 2x + x \cdot 4 + 1 \cdot 2x + 1 \cdot 4 = 2x^2 + 4x + 2x + 4=\)
\( = 2x^2 + 6x + 4\). Получаем уравнение: \(x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 6x + 4\). Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду: \(x^2 + 10x + 25 — 2x^2 — 6x — 4 = 0\), что дает \(-x^2 + 4x + 21 = 0\). Умножим на \(-1\), чтобы старший коэффициент был положительным: \(x^2 — 4x — 21 = 0\). Теперь решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100\). Так как \(D > 0\), у уравнения есть два корня. Найдем их по формуле: \(x = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 10}{2}\). Первый корень: \(x_1 = \frac{4 — 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3\). Второй корень: \(x_2 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7\). Таким образом, возможные значения \(x\) равны \(-3\) и \(7\).

3) Проверим первый случай, когда \(x = -3\). Подставим это значение в выражения для членов прогрессии. Первый член: \(b_1 = x + 1 = -3 + 1 = -2\). Второй член: \(b_2 = x + 5 = -3 + 5 = 2\). Третий член: \(b_3 = 2x + 4 = 2 \cdot (-3) + 4 = -6 + 4 = -2\). Получаем последовательность: \(-2, 2, -2\). Убедимся, что это геометрическая прогрессия, проверив свойство: \(b_2^2 = 2^2 = 4\), а \(b_1 \cdot b_3 = (-2) \cdot (-2) = 4\). Условие выполняется, значит, при \(x = -3\) последовательность является геометрической прогрессией.

4) Теперь проверим второй случай, когда \(x = 7\). Подставим значение в выражения. Первый член: \(b_1 = x + 1 = 7 + 1 = 8\). Второй член: \(b_2 = x + 5 = 7 + 5 = 12\). Третий член: \(b_3 = 2x + 4 = 2 \cdot 7 + 4 = 14 + 4 = 18\). Получаем последовательность: \(8, 12, 18\). Проверим свойство геометрической прогрессии: \(b_2^2 = 12^2 = 144\), а \(b_1 \cdot b_3 = 8 \cdot 18 = 144\). Условие выполняется, значит, при \(x = 7\) последовательность также является геометрической прогрессией.
Ответ: \(-2; 2; -2\), если \(x = -3\); \(8; 12; 18\), если \(x = 7\).

7.
Рассмотрим задачу на арифметическую прогрессию, где нужно найти определенные члены последовательности, их количество и сумму в заданном диапазоне. Разберем решение пошагово.

1) Уравнение всех натуральных чисел, кратных 8, можно записать как \(a_n = 8n\), где \(n\) — номер члена последовательности. Это арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 8\) и разностью \(d = 8\).

2) Найдем номер первого члена, который больше числа 50. Для этого решим неравенство: \(8n > 50\). Разделим обе части на 8: \(n > \frac{50}{8} = 6.25\). Поскольку \(n\) должно быть целым числом (номер члена последовательности), берем наименьшее целое число, большее 6.25, то есть \(n = 7\). Проверим: \(a_7 = 8 \cdot 7 = 56\), что действительно больше 50.

3) Теперь определим номер последнего члена, который меньше числа 180. Решим неравенство: \(8n < 180\). Разделим обе части на 8: \(n < \frac{180}{8} = 22.5\). Поскольку \(n\) должно быть целым числом, берем наибольшее целое число, меньшее 22.5, то есть \(n = 22\). Проверим: \(a_{22} = 8 \cdot 22 = 176\), что меньше 180, а следующий член \(a_{23} = 8 \cdot 23 = 184\), что уже больше 180.

4) Определим количество подходящих членов прогрессии, то есть членов с номерами от 7 до 22 включительно. Для этого вычтем из номера последнего члена номер первого и прибавим 1: \(n = (22 — 7) + 1 = 15 + 1 = 16\). Таким образом, в диапазоне от 7-го до 22-го члена находится 16 членов последовательности.

5) Найдем значения седьмого и двадцать второго членов прогрессии. Для \(n = 7\): \(a_7 = 8 \cdot 7 = 56\). Для \(n = 22\): \(a_{22} = 8 \cdot 22 = 176\). Эти значения понадобятся для вычисления суммы.

6) Вычислим сумму членов прогрессии с седьмого по двадцать второй. Формула суммы арифметической прогрессии для членов с номерами от \(m\) до \(n\) имеет вид: \(S_{m-n} = \frac{a_m + a_n}{2} \cdot (n — m + 1)\). Подставим значения: \(S_{7-22} = \frac{a_7 + a_{22}}{2} \cdot (22 — 7 + 1) = \frac{56 + 176}{2} \cdot 16\). Сначала вычислим сумму членов: \(56 + 176 = 232\). Затем разделим на 2: \(\frac{232}{2} = 116\). Умножим на количество членов: \(116 \cdot 16 = 1856\). Таким образом, сумма членов прогрессии с седьмого по двадцать второй равна 1856.
Ответ: 1856.