ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Контрольная работа Вариант 2 Номер 6 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите неравенство \(3(2x + 3) \leq 49 — 2x\).

2. Постройте график функции \(y = 8 + 2x — x^2\). Пользуясь графиком, найдите:
1) промежуток убывания функции;
2) множество решений неравенства \(8 + 2x — x^2 \geq 0\).

3. Решите систему уравнений \(\{x + y = 2, 2x^2 + xy + y^2 = 16\}\).

4. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_1 = 1\), \(d = 2,8\).

5. Два оператора компьютерного набора, работая вместе, могут выполнить набор некоторой книги за 4 дня. Если первый оператор наберёт \(\frac{1}{6}\) книги, а затем его заменит второй, то вся книга будет набрана за 7 дней. За сколько дней может выполнить эту работу каждый из них, работая самостоятельно?

6. При каких значениях \(a\) уравнение \(x^2 — (a-6)x + 4 = 0\) не имеет корней?

7. На четырёх карточках записаны числа \(3, 4, 5\) и \(6\). Какова вероятность того, что произведение чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет кратным числу \(3\)?

1. Решить неравенство: \(3(2x + 3) \leq 49 — 2x\); \(6x + 9 \leq 49 — 2x\); \(6x + 2x \leq 49 — 9\); \(8x \leq 40\); \(x \leq 5\); Ответ: \(x \in (-\infty; 5]\).

2. Дана функция: \(f(x) = 8 + 2x — x^2\); Координаты вершины параболы: \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1\); \(y_0 = 8 + 2 \cdot 1 — 1^2 = 8 + 2 — 1 = 9\); Координаты некоторых точек: (таблица с координатами точек опущена в текстовом формате, так как это графическая информация). График функции: (график опущен в текстовом формате). 1) Промежуток убывания функции: \(x \in [1; +\infty)\); 2) Множество решений неравенства \(8 + 2x — x^2 \geq 0\); \(x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)\).

3. \(y = 2 — x\)

\(2x^2 + x(2 — x) + (2 — x)^2 = 16\)
\(2x^2 + 2x — x^2 + 4 — 4x + x^2 = 16\)
\(2x^2 — 2x — 12 = 0\)
\(x^2 — x — 6 = 0\), \(D = 1 + 24 = 25\),
\(x = \frac{1 \pm 5}{2}\), \(x = 3\) или \(x = -2\)

При \(x = 3\), \(y = 2 — 3 = -1\);
при \(x = -2\), \(y = 2 — (-2) = 4\)

Ответ: \( (-2; 4), (3; -1)\)

4. Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\): \(a_6 = 1\) и \(a_9 = 2.8\); 1) Первый член и разность прогрессии: \(a_6 = a_1 + d(6 — 1)\); \(a_9 = a_1 + d(9 — 1)\); \(a_6 — 5d = a_9 — 8d\); \(1 — 5d = 2.8 — 8d\); \(3d = 1.8\); \(d = \frac{1.8}{3} = 0.6\); \(a_1 = 1 — 5 \cdot 0.6 = 1 — 3 = -2\); 2) Сумма шестнадцати первых членов прогрессии: \(S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (2a_1 + d(16 — 1))\); \(S_{16} = 8 \cdot (2 \cdot (-2) + 15 \cdot 0.6) = 8 \cdot (-4 + 9)\); \(S_{16} = 8 \cdot 5 = 40\); Ответ: 40.
1) Вместе операторы наберут книгу за 4 дня, но если первый оператор наберет шестую часть книги, а затем второй закончит работу, то они справятся за 7 дней, значит:
\( \frac{4}{x} + \frac{4}{y} = 1 \);
\( \frac{1}{6}x + \frac{5}{6}y = 7 \);
\( \frac{1}{6}x + \frac{5}{6}y = 7 \Rightarrow x + 5y = 42 \Rightarrow x = 42 — 5y \);
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \);
\( \frac{1}{y} + \frac{1}{42 — 5y} = \frac{1}{4} \);
\( 4y + 4(42 — 5y) = y(42 — 5y) \);
\( 4y + 168 — 20y = 42y — 5y^2 \);
\( 5y^2 — 58y + 168 = 0 \);
\( D = 58^2 — 4 \cdot 5 \cdot 168 = 3364 — 3360 = 4 \), тогда:
\( y_1 = \frac{58 — 2}{2 \cdot 5} = \frac{56}{10} = 5.6 \);
\( y_2 = \frac{58 + 2}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6 \);

5) Количество дней должно быть целым, значит: \( y = 6 \) (дней); \( x = 42 — 5 \cdot 6 = 42 — 30 = 12 \) (дней);
Ответ: 12 дней; 6 дней.

6. Дано уравнение: \( x^2 — (a — 6)x + 4 = 0 \);
1) Найдем дискриминант: \( D = (a — 6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 — 12a + 36 — 16 = a^2 — 12a + 20 \);
2) Уравнение не имеет действительных корней, если \( D < 0 \): \( a^2 — 12a + 20 < 0 \);
\( D = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 — 80 = 64 \), тогда:
\( a_1 = \frac{12 — 8}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \);
\( a_2 = \frac{12 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10 \);
\( (a — 2)(a — 10) < 0 \);
\( 2 < a < 10 \);
Ответ: \( a \in (2; 10) \).

7. Имеются четыре карточки с номерами: 3; 4; 5; 6;
1) Всего можно выбрать различных пар карточек: \( N_1 = 4 \) — варианта выбора первой карточки; \( N_2 = 4 — 1 = 3 \) — варианта выбора второй карточки; \( N = N_1 \cdot N_2 = 4 \cdot 3 = 12 \);
2) Всего пар, произведение которых кратно числу 3: \( N_3 = \{3,4; 4,3; 3,5; 5,3; 3,6; 6,3; 4,6; 6,4; 5,6; 6,5\} = 10 \);
3) Вероятность, что произведение будет делиться на 3: \( P = \frac{N_3}{N} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \);
Ответ: \( \frac{5}{6} \).

1. Решить неравенство \(3(2x + 3) \leq 49 — 2x\). Начнем с раскрытия скобок в левой части: \(3 \cdot 2x + 3 \cdot 3 = 6x + 9\), таким образом, неравенство принимает вид \(6x + 9 \leq 49 — 2x\). Теперь перенесем все слагаемые с \(x\) в левую часть, а константы — в правую. Прибавим \(2x\) к обеим частям: \(6x + 2x + 9 \leq 49\), то есть \(8x + 9 \leq 49\). Затем вычтем 9 из обеих частей: \(8x \leq 49 — 9\), что дает \(8x \leq 40\). Теперь разделим обе части на 8: \(x \leq \frac{40}{8}\), то есть \(x \leq 5\). Таким образом, решение неравенства — все \(x\), которые меньше или равны 5. Ответ: \(x \in (-\infty; 5]\).

2. Дана функция \(f(x) = 8 + 2x — x^2\). Найдем координаты вершины параболы. Для квадратичной функции вида \(f(x) = ax^2 + bx + c\) координата \(x\) вершины вычисляется по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). Здесь \(a = -1\), \(b = 2\), поэтому \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1\). Подставим \(x = 1\) в функцию, чтобы найти \(y_0\): \(y_0 = 8 + 2 \cdot 1 — (1)^2 = 8 + 2 — 1 = 9\). Таким образом, координаты вершины — \((1; 9)\).

Определим координаты некоторых точек функции. Вычислим значения \(y\) для нескольких \(x\):

Теперь определим промежуток убывания функции. Поскольку коэффициент при \(x^2\) отрицательный (\(a = -1\)), парабола направлена вниз, и функция убывает после вершины, то есть при \(x \geq 1\). Таким образом, промежуток убывания: \(x \in [1; +\infty)\).

Решим неравенство \(8 + 2x — x^2 \geq 0\). Перепишем его как \(-x^2 + 2x + 8 \geq 0\). Найдем корни уравнения \(-x^2 + 2x + 8 = 0\), умножив на \(-1\): \(x^2 — 2x — 8 = 0\). Дискриминант \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\), корни \(x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}\), то есть \(x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4\). Поскольку парабола направлена вниз, функция принимает положительные значения между корнями, но из-за неравенства \(\geq 0\) включаем и сами корни. Однако, учитывая направление параболы, \(f(x) \geq 0\) вне интервала между корнями, то есть \(x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)\).

3. Решить систему уравнений \(\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^2 + xy + y^2 = 16 \end{cases}\). Начнем с первого уравнения: \(x + y = 2\), откуда выразим \(y = 2 — x\). Подставим это выражение во второе уравнение: \(2x^2 + x(2 — x) + (2 — x)^2 = 16\). Раскроем скобки: \(2x^2 + 2x — x^2 + (4 — 4x + x^2) = 16\), упростим: \(2x^2 + 2x — x^2 + 4 — 4x + x^2 = 16\), то есть \(2x^2 — 2x + 4 = 16\). Перенесем 16 в левую часть: \(2x^2 — 2x + 4 — 16 = 0\), \(2x^2 — 2x — 12 = 0\). Разделим на 2: \(x^2 — x — 6 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\), корни \(x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}\), то есть \(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3\). Теперь найдем соответствующие значения \(y\): для \(x_1 = -2\), \(y_1 = 2 — (-2) = 4\); для \(x_2 = 3\), \(y_2 = 2 — 3 = -1\). Ответ: \((-2; 4)\); \((3; -1)\).

4. Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\): \(a_6 = 1\) и \(a_9 = 2.8\). Найдем первый член и разность прогрессии. Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + d(n — 1)\). Для \(n = 6\): \(a_6 = a_1 + d(6 — 1) = a_1 + 5d = 1\); для \(n = 9\): \(a_9 = a_1 + d(9 — 1) = a_1 + 8d = 2.8\). Получаем систему: \(\begin{cases} a_1 + 5d = 1 \\ a_1 + 8d = 2.8 \end{cases}\). Вычтем первое уравнение из второго: \((a_1 + 8d) — (a_1 + 5d) = 2.8 — 1\), то есть \(3d = 1.8\), откуда \(d = \frac{1.8}{3} = 0.6\). Подставим \(d = 0.6\) в первое уравнение: \(a_1 + 5 \cdot 0.6 = 1\), \(a_1 + 3 = 1\), \(a_1 = 1 — 3 = -2\). Таким образом, первый член \(a_1 = -2\), разность \(d = 0.6\).

Теперь найдем сумму шестнадцати первых членов прогрессии. Формула суммы: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n — 1))\). Для \(n = 16\): \(S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (2 \cdot (-2) + 0.6 \cdot (16 — 1)) = 8 \cdot (-4 + 0.6 \cdot 15) = 8 \cdot (-4 + 9) =\)
\(= 8 \cdot 5 = 40\). Ответ: 40.
5) Вместе операторы наберут книгу за 4 дня, но если первый оператор наберет шестую часть книги, а затем второй закончит работу, то они справятся за 7 дней. Составим систему уравнений, исходя из условий задачи. Пусть \( x \) — время, за которое первый оператор может выполнить работу самостоятельно, а \( y \) — время, за которое второй оператор выполнит работу самостоятельно. Тогда производительность первого оператора равна \( \frac{1}{x} \), а второго — \( \frac{1}{y} \).

Совместная работа операторов за 4 дня дает уравнение: \( \frac{4}{x} + \frac{4}{y} = 1 \), что означает, что за 4 дня они вместе выполняют всю работу. Упростим это уравнение, разделив обе части на 4: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \).

Далее, по второму условию, первый оператор выполняет \( \frac{1}{6} \) части работы, а второй — оставшиеся \( \frac{5}{6} \) части. Время, затраченное на это, составляет 7 дней. Время работы первого оператора равно \( \frac{1}{6} \cdot x \), а второго — \( \frac{5}{6} \cdot y \). Таким образом, получаем уравнение: \( \frac{1}{6}x + \frac{5}{6}y = 7 \). Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей: \( x + 5y = 42 \). Отсюда выражаем \( x = 42 — 5y \).

Теперь подставим выражение для \( x \) в первое уравнение: \( \frac{1}{42 — 5y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \). Чтобы решить это уравнение, приведем его к общему знаменателю, который равен \( y(42 — 5y) \). Тогда: \( \frac{y + (42 — 5y)}{y(42 — 5y)} = \frac{1}{4} \), что упрощается до \( \frac{42 — 4y}{y(42 — 5y)} = \frac{1}{4} \). Умножим обе части на \( 4y(42 — 5y) \): \( 4(42 — 4y) = y(42 — 5y) \), или \( 168 — 16y = 42y — 5y^2 \).

Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в одну сторону: \( 5y^2 — 42y — 16y + 168 = 0 \), что дает \( 5y^2 — 58y + 168 = 0 \). Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: \( D = (-58)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 168 = 3364 — 3360 = 4 \). Корни уравнения: \( y = \frac{58 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{58 \pm 2}{10} \). Таким образом, \( y_1 = \frac{60}{10} = 6 \) и \( y_2 = \frac{56}{10} = 5.6 \).

2) Поскольку количество дней должно быть целым числом, выбираем значение \( y = 6 \) дней. Тогда \( x = 42 — 5 \cdot 6 = 42 — 30 = 12 \) дней. Таким образом, первый оператор выполняет работу за 12 дней, а второй — за 6 дней. Ответ: 12 дней; 6 дней.

6) Дано уравнение: \( x^2 — (a — 6)x + 4 = 0 \). Необходимо найти значения параметра \( a \), при которых уравнение не имеет действительных корней. Для этого вычислим дискриминант уравнения: \( D = (a — 6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = (a — 6)^2 — 16 \). Раскроем скобки: \( D = a^2 — 12a + 36 — 16 = a^2 — 12a + 20 \).

Уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицателен, то есть \( a^2 — 12a + 20 < 0 \). Решим это неравенство. Найдем корни уравнения \( a^2 — 12a + 20 = 0 \). Дискриминант: \( D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 — 80 = 64 \). Тогда корни: \( a = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm 8}{2} \), то есть \( a_1 = \frac{12 — 8}{2} = 2 \), \( a_2 = \frac{12 + 8}{2} = 10 \).

Таким образом, уравнение \( a^2 — 12a + 20 = 0 \) имеет корни \( a = 2 \) и \( a = 10 \). Поскольку коэффициент при \( a^2 \) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство \( a^2 — 12a + 20 < 0 \) выполняется между корнями, то есть при \( 2 < a < 10 \). Ответ: \( a \in (2; 10) \).

7) Имеются четыре карточки с номерами: 3, 4, 5, 6. Нужно найти вероятность того, что при выборе двух карточек произведение их номеров будет кратно 3. Сначала определим общее количество способов выбора двух карточек из четырех. Поскольку порядок выбора важен (например, выбор 3 и 4 отличается от выбора 4 и 3 в контексте возможных пар), общее число пар равно \( 4 \cdot 3 = 12 \).

Теперь определим количество благоприятных исходов, то есть пар, произведение чисел которых кратно 3. Произведение кратно 3, если хотя бы одно из чисел делится на 3. Числа, делящиеся на 3, — это 3 и 6. Перечислим все возможные пары: (3,4), (4,3), (3,5), (5,3), (3,6), (6,3), (4,6), (6,4), (5,6), (6,5). Всего таких пар 10.

Вероятность благоприятного исхода равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: \( P = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \). Ответ: \( \frac{5}{6} \).