ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 100 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) и \(b\) парабола \(y = ax^2 + bx — 8\) проходит через точки \(A(-2; 7)\) и \(B(3; -6)\)?

Дана функция: \( y = ax^2 + bx — 3 \);

1) График функции проходит через точку \( A(-2; 7) \):

\( 7 = a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) — 3; \)
\( 10 = 4a — 2b; \)
\( 5 = 2a — b; \)
\( b = 2a — 5; \)

2) График функции проходит через точку \( B(3; -6) \):

\( -6 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 — 3; \)
\( -3 = 9a + 3b; \)
\( -1 = 3a + b; \)
\( -1 = 3a + (2a — 5); \)
\( -1 = 5a — 5; \)
\( 5a = 4; \)
\( a = 0,8; \)
\( b = 2 \cdot 0,8 — 5 = 1,6 — 5 = -3,4; \)

Ответ: \( a = 0,8; \quad b = -3,4. \)

Дана функция вида \( y = ax^2 + bx — 3 \), где \( a \) и \( b \) — неизвестные коэффициенты, которые нужно найти. Для этого нам даны две точки, через которые проходит график функции: \( A(-2; 7) \) и \( B(3; -6) \). Так как функция проходит через эти точки, их координаты должны удовлетворять уравнению функции. Это значит, что при подстановке координат точки в уравнение функции, равенство должно выполняться.

Начнем с точки \( A(-2; 7) \). Подставим \( x = -2 \) и \( y = 7 \) в уравнение:
\( 7 = a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) — 3 \).
Возводим в квадрат: \( (-2)^2 = 4 \), значит:
\( 7 = 4a — 2b — 3 \).
Переносим \(-3\) в левую часть:
\( 7 + 3 = 4a — 2b \),
то есть
\( 10 = 4a — 2b \).
Делим обе части на 2 для упрощения:
\( 5 = 2a — b \).
Выразим \( b \) через \( a \):
\( b = 2a — 5 \).

Теперь рассмотрим точку \( B(3; -6) \). Подставим \( x = 3 \) и \( y = -6 \) в уравнение:
\( -6 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 — 3 \).
Вычислим квадрат: \( 3^2 = 9 \), значит:
\( -6 = 9a + 3b — 3 \).
Переносим \(-3\) в левую часть:
\( -6 + 3 = 9a + 3b \),
или
\( -3 = 9a + 3b \).
Делим обе части на 3:
\( -1 = 3a + b \).
Теперь подставим выражение для \( b \) из предыдущего шага:
\( -1 = 3a + (2a — 5) \),
соберем подобные:
\( -1 = 5a — 5 \).
Переносим \(-5\) в левую часть:
\( -1 + 5 = 5a \),
то есть
\( 4 = 5a \).
Делим обе части на 5:
\( a = \frac{4}{5} = 0{,}8 \).

Подставим найденное значение \( a \) в выражение для \( b \):
\( b = 2 \cdot 0{,}8 — 5 = 1{,}6 — 5 = -3{,}4 \).

Таким образом, мы нашли значения коэффициентов: \( a = 0{,}8 \) и \( b = -3{,}4 \), которые делают уравнение функции \( y = 0{,}8x^2 — 3{,}4x — 3 \) проходящим через заданные точки \( A(-2; 7) \) и \( B(3; -6) \).