ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 105 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) функция \(y = 4x^2 + 5x — a\) принимает положительные значения при всех действительных значениях \(x\)?

Дискриминант функции \(y = 4x^2 + 5x — a\):

\(D = 5^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-a) = 25 + 16a\).

Функция принимает положительные значения при всех \(x \in \mathbb{R}\), если парабола направлена вверх и не имеет корней, то есть \(D < 0\):

\(25 + 16a < 0\),

\(16a < -25\),

\(a < -\frac{25}{16}\).

Ответ: \(a \in (-\infty; -\frac{25}{16})\).

1) Рассмотрим функцию \(y = 4x^{2} + 5x — a\). Это квадратная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при \(x^{2}\) равен 4, что положительно, значит ветви параболы направлены вверх. Для того чтобы функция принимала только положительные значения при всех значениях \(x\), необходимо, чтобы парабола не пересекала ось абсцисс, то есть не имела действительных корней.

2) Для определения наличия корней используем дискриминант квадратного уравнения, который вычисляется по формуле \(D = b^{2} — 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) — коэффициенты квадратного трехчлена. В нашем случае \(a = 4\), \(b = 5\), \(c = -a\). Подставим значения:
\(D = 5^{2} — 4 \cdot 4 \cdot (-a) = 25 + 16a\).
Дискриминант зависит от параметра \(a\).

3) Чтобы парабола не имела пересечений с осью \(x\), дискриминант должен быть меньше нуля:
\(D < 0\), то есть
\(25 + 16a < 0\).
Решаем неравенство:
\(16a < -25\),
\(a < -\frac{25}{16}\).
Это условие гарантирует, что корней у функции нет, и так как ветви направлены вверх, функция принимает только положительные значения для всех \(x \in \mathbb{R}\).

Ответ: \(a \in (-\infty; -\frac{25}{16})\).