Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 106 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
При каких значениях \(a\) функция \(y = (-1)x^2 + 6x + 20\) принимает положительные значения при всех действительных значениях \(x\)?
Функция \( y = (a — 1)x^2 + 6x + 20 \) принимает положительные значения при всех \( x \), если:
1) Ветви параболы направлены вверх: \( a — 1 > 0 \Rightarrow a > 1 \).
2) Дискриминант меньше нуля, чтобы не было корней:
\( D = 6^2 — 4(a-1) \cdot 20 < 0 \)
\( 36 — 80a + 80 < 0 \)
\( 116 — 80a < 0 \)
\( 80a > 116 \)
\( a > \frac{29}{20} \).
Итог: \( a \in \left(\frac{29}{20}; +\infty\right) \).
Функция \( y = (a — 1)x^2 + 6x + 20 \) является квадратичной, и чтобы она принимала положительные значения при всех действительных \( x \), необходимо, чтобы график функции — парабола — располагался полностью выше оси \( x \). Для этого парабола должна быть направлена ветвями вверх, а уравнение не должно иметь действительных корней.
Первое условие — направление ветвей параболы. Коэффициент при \( x^2 \) равен \( a — 1 \). Если этот коэффициент положителен, то ветви параболы направлены вверх, и функция может быть положительной на всем промежутке. Значит, должно выполняться неравенство \( a — 1 > 0 \), откуда \( a > 1 \).
Второе условие — отсутствие корней у функции, то есть дискриминант должен быть меньше нуля. Дискриминант вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = a — 1 \), \( b = 6 \), \( c = 20 \). Подставим:
\( D = 6^2 — 4(a — 1) \cdot 20 = 36 — 80a + 80 = 116 — 80a \).
Для того чтобы функция не имела корней, необходимо \( D < 0 \), то есть
\( 116 — 80a < 0 \Rightarrow 80a > 116 \Rightarrow a > \frac{29}{20} \).
Таким образом, чтобы парабола была направлена вверх и не пересекала ось \( x \), \( a \) должно быть одновременно больше 1 и больше \( \frac{29}{20} \). Поскольку \( \frac{29}{20} = 1.45 \) больше 1, итоговое условие — \( a \in \left(\frac{29}{20}; +\infty\right) \). При таких значениях \( a \) функция будет положительна для всех действительных \( x \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.