Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 107 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
При каких значениях \(a\) функция \(y = (a+2)x^2 + 4x — 5\) принимает неположительные значения при всех действительных значениях \(x\)?
Функция принимает неположительные значения при всех \(x\), если парабола направлена вниз и дискриминант меньше или равен нулю:
1) Ветви параболы направлены вниз: \(a + 2 < 0 \Rightarrow a < -2\)
2) Дискриминант \(D = 4^2 — 4(a+2)(-5) = 16 + 20a + 40 = 56 + 20a \leq 0 \Rightarrow 20a \leq -\)
\(-56 \Rightarrow a \leq -\frac{56}{20} = -2.8\)
Объединяя условия:
\(a < -2\) и \(a \leq -2.8\), значит
\(a \leq -2.8\)
Ответ: \(a \leq -2.8\)
Рассмотрим функцию \(y = (a + 2)x^{2} + 4x — 5\). Чтобы определить, при каких значениях параметра \(a\) функция принимает неположительные значения для всех \(x\), сначала нужно понять, как ведет себя график функции. Поскольку функция является квадратичной, ее график — парабола. Кривая будет направлена вверх, если коэффициент при \(x^{2}\) положителен, и вниз, если он отрицателен. В нашем случае коэффициент при \(x^{2}\) равен \(a + 2\). Следовательно, для того чтобы вся функция была неположительной, парабола должна быть направлена вниз, то есть \(a + 2 < 0\), откуда следует \(a < -2\).
Далее нужно проверить, чтобы у функции не было положительных значений, то есть чтобы парабола не пересекала ось \(x\) в двух точках с положительными значениями функции. Для этого вычислим дискриминант квадратного трехчлена: \(D = 4^{2} — 4 \cdot (a + 2) \cdot (-5) = 16 + 20a + 40 = 56 + 20a\). Если дискриминант положителен, то у функции будут два корня, и между ними парабола может принимать положительные значения. Чтобы функция была неположительной при всех \(x\), дискриминант должен быть меньше или равен нулю, то есть \(56 + 20a \leq 0\). Решая неравенство, получаем \(20a \leq -56\), откуда \(a \leq -\frac{56}{20} = -2,8\).
Объединив два условия, получаем, что параметр \(a\) должен удовлетворять системе: \(a < -2\) и \(a \leq -2,8\). Поскольку \(a \leq -2,8\) уже включает в себя условие \(a < -2\), окончательный ответ: \(a \leq -2,8\). Это значит, что при всех \(a\), меньших или равных \(-2,8\), функция \(y = (a + 2)x^{2} + 4x — 5\) принимает неположительные значения для всех \(x\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.