ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 108 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(c\) наибольшее значение функции \(y = -2x^2 + 8x + c\) равно \(-4\)?

Дана функция \( y = -2x^2 + 8x + c \).

Наибольшее значение функции — это ордината вершины параболы, которая равна \( y_0 = c + 8 \).

По условию: \( c + 8 = -4 \).

Тогда \( c = -4 — 8 = -12 \).

Ответ: \( c = -12 \).

1) Рассмотрим функцию \( y = -2x^{2} + 8x + c \). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при \( x^{2} \) равен \( a = -2 \), что отрицательно, следовательно, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет максимум. Максимальное значение функции достигается в вершине параболы, координаты которой можно найти по формулам для вершины: абсцисса вершины \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), а ордината вершины \( y_0 = \frac{4ac — b^{2}}{4a} \).

2) Подставим известные значения коэффициентов \( a = -2 \), \( b = 8 \) в формулу для ординаты вершины:
\( y_0 = \frac{4 \cdot (-2) \cdot c — 8^{2}}{4 \cdot (-2)} = \frac{-8c — 64}{-8} \).
Упростим дробь: числитель \( -8c — 64 \), знаменатель \( -8 \), при делении меняем знаки:
\( y_0 = c + 8 \).
Таким образом, максимальное значение функции зависит от параметра \( c \) и равно \( c + 8 \).

3) По условию задачи максимальное значение функции равно \(-4\). Значит,
\( c + 8 = -4 \).
Решим это уравнение для \( c \):
Вычтем 8 из обеих частей уравнения:
\( c = -4 — 8 = -12 \).
Таким образом, параметр \( c \) равен \(-12\), что гарантирует, что вершина параболы будет иметь ординату \(-4\), то есть функция достигнет максимума именно в этом значении.