Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 109 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
При каких значениях \(p\) и \(q\) вершина параболы \(y = x^2 + px + q\) находится в точке \((4; 7)\)?
Вершина параболы \(y = x^2 + px + q\) имеет абсциссу \(x_0 = -\frac{p}{2}\).
Если \(x_0 = 4\), то \(-\frac{p}{2} = 4\), откуда \(p = -8\).
Ордината вершины \(y_0 = q — \frac{p^2}{4}\).
Подставляем \(y_0 = 7\) и \(p = -8\):
\(7 = q — \frac{(-8)^2}{4} = q — \frac{64}{4} = q — 16\),
откуда \(q = 23\).
Ответ: \(p = -8\), \(q = 23\).
Парабола задана уравнением \(y = x^2 + px + q\). Вершина параболы — это точка, в которой функция достигает своего максимума или минимума. Абсцисса вершины вычисляется по формуле \(x_0 = -\frac{p}{2}\). В условии задачи сказано, что абсцисса вершины равна 4, то есть \(x_0 = 4\). Подставляя это значение в формулу, получаем уравнение \(-\frac{p}{2} = 4\). Чтобы найти \(p\), умножаем обе части уравнения на \(-2\), таким образом получаем \(p = -8\). Это означает, что коэффициент при \(x\) в уравнении параболы равен \(-8\).
Далее нам необходимо найти значение \(q\), свободного члена уравнения. Для этого используем формулу ординаты вершины, которая выражается как \(y_0 = q — \frac{p^2}{4}\). В задаче указано, что ордината вершины равна 7, то есть \(y_0 = 7\). Подставляем известные значения \(p = -8\) и \(y_0 = 7\) в формулу: \(7 = q — \frac{(-8)^2}{4}\). Вычисляем квадрат числа \(-8\), получаем \(64\), и делим на 4, получается \(16\). Следовательно, уравнение принимает вид \(7 = q — 16\). Чтобы найти \(q\), прибавляем 16 к обеим частям уравнения, получая \(q = 7 + 16 = 23\).
Таким образом, мы определили оба неизвестных коэффициента уравнения параболы: \(p = -8\) и \(q = 23\). Эти значения полностью описывают параболу с вершиной в точке с координатами \((4, 7)\). Проверка решения осуществляется подстановкой найденных значений в исходное уравнение и проверкой, что при \(x = 4\) значение функции действительно равно 7. Это подтверждает правильность вычислений и завершает решение задачи.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.