ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 110 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Парабола \(y = ax^2 + bx + c\) имеет вершину в точке \(M(2; 1)\) и проходит через точку \(K(-1; 5)\). Найдите значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).

Вершина параболы в точке \(M(2; 1)\) даёт систему:

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = 2 \Rightarrow b = -4a\),

\(y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a} = 1 \Rightarrow 4ac — 16a^2 = 4a \Rightarrow c — 4a = 1 \Rightarrow c = 1 + 4a\).

Подставляем точку \(K(-1; 5)\):

\(5 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = a — b + c = a — (-4a) + (1 + 4a) =\)
\(= a + 4a + 1 + 4a = 9a + 1\),

откуда \(9a = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{9}\).

Тогда

\(b = -4a = -\frac{16}{9}\),

\(c = 1 + 4a = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}\).

Ответ: \(a = \frac{4}{9}\), \(b = -\frac{16}{9}\), \(c = \frac{25}{9}\).

1) Вершина параболы лежит в точке \(M(2; 1)\):

Координата вершины по оси \(x\) даётся формулой \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). Подставляем \(x_0 = 2\):

\(2 = -\frac{b}{2a} \Rightarrow b = -4a\).

Координата вершины по оси \(y\) равна \(y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a}\). Подставляем \(y_0 = 1\) и выражение для \(b\):

\(1 = \frac{4ac — (-4a)^2}{4a} = \frac{4ac — 16a^2}{4a}\).

Умножаем обе части на \(4a\):

\(4a = 4ac — 16a^2\).

Переносим все в одну сторону:

\(4ac — 16a^2 — 4a = 0\).

Делим на \(4a\) (при \(a \neq 0\)):

\(c — 4a — 1 = 0 \Rightarrow c = 1 + 4a\).

2) График функции проходит через точку \(K(-1; 5)\):

Подставляем \(x = -1, y = 5\) в уравнение \(y = ax^2 + bx + c\):

\(5 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = a — b + c\).

Подставляем \(b = -4a\) и \(c = 1 + 4a\):

\(5 = a — (-4a) + 1 + 4a = a + 4a + 1 + 4a = 9a + 1\).

Вычитаем 1 с обеих сторон:

\(4 = 9a \Rightarrow a = \frac{4}{9}\).

Тогда

\(b = -4a = -4 \cdot \frac{4}{9} = -\frac{16}{9}\),

\(c = 1 + 4a = 1 + 4 \cdot \frac{4}{9} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}\).

Ответ: \(a = \frac{4}{9}\); \(b = -\frac{16}{9}\); \(c = \frac{25}{9}\).