ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 111 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции:
1) \(y = \frac{1}{2}(-2x + 2)\);
2) \(y = x^2 + 4|x| + 3\);
3) \(y = x^2 — 5x + 7 — \frac{2}{x — 2}\);
4) \(y = x^2 — 4|x + 1| + 5x + 4\).

1) \(y = \frac{1}{2}(-2x + 2) = -x + 1\), это прямая с наклоном -1 и сдвигом вверх на 1.

2) \(y = x^2 + 4|x| + 3\).
Для \(x \geq 0: y = x^2 + 4x + 3\).
Для \(x < 0: y = x^2 — 4x + 3\).
Построить параболы с вершинами в точках, найденных через производные.

3) \(y = x^2 — 5x + 7 — \frac{2}{x — 2}\).
Область определения \(x \neq 2\).
Функция — сумма квадратичной и гиперболической части с вертикальной асимптотой в \(x=2\).

4) \(y = x^2 — 4|x + 1| + 5x + 4\).
Для \(x \geq -1: y = x^2 — 4(x+1) + 5x + 4 = x^2 + x\).
Для \(x < -1: y = x^2 + 4(x+1) + 5x + 4 = x^2 + 9x + 8\).

1) Дана функция \(y = \frac{1}{2}(-2x + 2)\).
Раскроем скобки: \(y = \frac{1}{2} \cdot (-2x) + \frac{1}{2} \cdot 2 = -x + 1\).
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом \(-1\) и сдвигом вверх на 1. График — прямая, проходящая через точку \((0, 1)\) и убывающая с наклоном -1.

2) Функция \(y = x^2 + 4|x| + 3\).
Разобьём на случаи по знаку \(x\):
Если \(x \geq 0\), то \(|x| = x\), и функция принимает вид \(y = x^2 + 4x + 3\).
Найдём вершину параболы по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\).
Поскольку \(x_0 = -2 < 0\), вершина не в области \(x \geq 0\), значит график на \(x \geq 0\) — часть параболы, которая возрастает.
Вычислим значения функции в таблице:

Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), и функция становится \(y = x^2 — 4x + 3\).
Вершина: \(x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\), что больше 0, значит вершина вне области \(x < 0\).
Вычислим значения функции:

График состоит из двух частей парабол, соединённых в точке \(x=0\).

3) Функция \(y = x^2 — 5x + 7 — \frac{2}{x — 2}\).
Область определения: \(x \neq 2\), так как знаменатель не может быть нулём.
График — сумма квадратичной функции \(x^2 — 5x + 7\) и гиперболической части \(-\frac{2}{x-2}\) с вертикальной асимптотой в \(x=2\).
Для построения вычислим значения в нескольких точках, избегая \(x=2\).

4) Функция \(y = x^2 — 4|x + 1| + 5x + 4\).
Определим знак выражения под модулем: \(x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\).
Для \(x \geq -1\):
\(y = x^2 — 4(x + 1) + 5x + 4 = x^2 — 4x — 4 + 5x + 4 = x^2 + x\).
Вершина параболы: \(x_0 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2} = -0.5\).
Вычислим значения:

Для \(x < -1\):
\(y = x^2 — 4(-(x + 1)) + 5x + 4 = x^2 + 4x + 4 + 5x + 4 = x^2 + 9x + 8\).
Вершина: \(x_0 = -\frac{9}{2} = -4.5\).
Вычислим значения: