ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 112 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — нули функции \(y = 4x^2 — (3a + 2)x + a — 1\). При каких значениях \(a\) выполняется неравенство \(x_1 < 3 < x_2\)?

Для функции \(y = 4x^2 — (3a + 2)x + a — 1\) при условии \(x_1 < 3 < x_2\) и ветвях вверх (коэффициент при \(x^2\) положителен), должно выполняться:

1) Значение функции в точке 3 отрицательно:
\(4 \cdot 3^2 — (3a + 2) \cdot 3 + a — 1 < 0\)

Раскроем скобки и упростим:
\(4 \cdot 9 — 9a — 6 + a — 1 < 0\)

\(36 — 8a — 7 < 0\)

\(-8a + 29 < 0\)

\(29 < 8a\)

\(a > \frac{29}{8}\)

Ответ: \(a \in \left(\frac{29}{8}; +\infty\right)\)

1) Коэффициент при \(x^2\) в функции \(y = 4x^2 — (3a + 2)x + a — 1\) равен 4, что положительно. Это означает, что парабола ветвями направлена вверх. Следовательно, график функции имеет форму чаши, открытой вверх, и вершина параболы является точкой минимума. При таком расположении корни уравнения, если они существуют, будут расположены слева и справа от вершины, и функция между корнями принимает отрицательные значения.

2) Согласно условию, корни \(x_1\) и \(x_2\) функции удовлетворяют неравенству \(x_1 < 3 < x_2\). Это значит, что точка \(x = 3\) лежит между двумя корнями. Поскольку парабола направлена вверх, значение функции в точке, расположенной между корнями, должно быть отрицательным. Иначе говоря, при \(x = 3\) функция принимает отрицательное значение, так как график находится ниже оси абсцисс между корнями.

3) Подставим \(x = 3\) в выражение функции: \(y(3) = 4 \cdot 3^2 — (3a + 2) \cdot 3 + a — 1\). Раскроем скобки: \(4 \cdot 9 — 9a — 6 + a — 1\). Упростим: \(36 — 8a — 7\). Получаем неравенство \(36 — 8a — 7 < 0\), или \(29 — 8a < 0\). Переносим \(29\) вправо: \(-8a < -29\). Делим обе части на \(-8\), меняя знак неравенства: \(a > \frac{29}{8}\). Таким образом, параметр \(a\) должен быть больше \(\frac{29}{8}\), чтобы выполнялось условие расположения корней относительно точки 3 и направление ветвей параболы.