ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 112 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — нули функции \(y = 4x^2 — (3a + 2)x + a — 1\). При каких значениях \(a\) выполняется неравенство \(x_1 < 3 < x_2\)?

Для функции \(y = 4x^2 — (3a + 2)x + a — 1\) при условии \(x_1 < 3 < x_2\) и ветвях вверх (коэффициент при \(x^2\) положителен), должно выполняться:

1) Значение функции в точке 3 отрицательно:
\(4 \cdot 3^2 — (3a + 2) \cdot 3 + a — 1 < 0\)

Раскроем скобки и упростим:
\(4 \cdot 9 — 9a — 6 + a — 1 < 0\)

\(36 — 8a — 7 < 0\)

\(-8a + 29 < 0\)

\(29 < 8a\)

\(a > \frac{29}{8}\)

Ответ: \(a \in \left(\frac{29}{8}; +\infty\right)\)

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни квадратной функции \( y = 4x^2 — (3a + 2)x + a — 1 \). Нам нужно определить, при каких значениях параметра \( a \) выполняется неравенство \( x_1 < 3 < x_2 \). Для начала напомним, что парабола ветвями направлена вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) равен \( 4 > 0 \). При этом условие \( x_1 < 3 < x_2 \) означает, что точка \( x = 3 \) лежит между корнями функции. В таком случае значение функции в точке \( x = 3 \) должно быть отрицательным, поскольку график параболы будет ниже оси \( x \) между корнями. Следовательно, необходимо, чтобы выполнялось неравенство: \[ y(3) = 4 \cdot 3^2 - (3a + 2) \cdot 3 + a - 1 < 0. \] Выполним подстановку и упростим выражение. Сначала вычислим \( 4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 \). Далее раскрываем скобки для второго слагаемого: \[ -(3a + 2) \cdot 3 = -9a - 6. \] Подставим это в выражение: \[ 36 - 9a - 6 + a - 1 < 0. \] Сложим свободные члены и приведём подобные: \[ 36 - 6 - 1 = 29, \] а также \( -9a + a = -8a \), тогда неравенство примет вид: \[ 29 - 8a < 0. \] Переносим \( 8a \) вправо: \[ 29 < 8a, \] или делим обе части на 8 (поскольку 8 > 0, знак неравенства сохраняется):
\[
a > \frac{29}{8}.
\]

Таким образом, для того чтобы точка \( x = 3 \) лежала между корнями функции, а парабола была направлена вверх, параметр \( a \) должен принадлежать интервалу:
\[
a \in \left( \frac{29}{8}, +\infty \right).
\]