ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 113 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(x^2 — 5x — 36 < 0\);

7) \(4x^2 — 12x + 9 > 0\);

2) \(x^2 + 7x — 80 \geq 0\);

8) \(x^2 — 14x + 49 \geq 0\);

3) \(-x^2 + 4,6x — 2,4 < 0\);

9) \(5x^2 — 2x + 1 > 0\);

4) \(-3x^2 + 4x + 4 > 0\);

10) \(64x^2 — 16x + 1 \leq 0\);

5) \(4x^2 — 16x \leq 0\);

11) \(9x^2 + 30x + 25 < 0\);

6) \(9x^2 — 25 > 0\);

12) \(2x^2 — 5x + 4 \leq 0\).

1) \(x^2 — 5x — 36 < 0\), корни: \(x_1 = -4\), \(x_2 = 9\), ответ: \(x \in (-4; 9)\)
2) \(x^2 + 7x — 30 \geq 0\), корни: \(x_1 = -10\), \(x_2 = 3\), ответ: \(x \in (-\infty; -10] \cup [3; +\infty)\)
3) \(-x^2 + 4.6x — 2.4 < 0\), преобразование к \(5x^2 — 23x + 12 > 0\), корни: \(x_1 = 0.6\), \(x_2 = 4\), ответ: \(x \in (-\infty; 0.6) \cup (4; +\infty)\)
4) \(-3x^2 + 4x + 4 > 0\), преобразование к \(3x^2 — 4x — 4 < 0\), корни: \(x_1 = -\frac{2}{3}\), \(x_2 = 2\), ответ: \(x \in \left(-\frac{2}{3}; 2\right)\)
5) \(4x^2 — 16x \leq 0\), факторизация \(x(x-4) \leq 0\), ответ: \(x \in [0; 4]\)
6) \(9x^2 — 25 > 0\), факторизация \((3x-5)(3x+5) > 0\), ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)\)
7) \(4x^2 — 12x + 9 > 0\), \((2x-3)^2 > 0\), ответ: \(x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)\)
8) \(x^2 — 14x + 49 \geq 0\), \((x-7)^2 \geq 0\), ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\)
9) \(5x^2 — 2x + 1 > 0\), дискриминант < 0, ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\)
10) \(64x^2 — 16x + 1 \leq 0\), \((8x-1)^2 \leq 0\), ответ: \(x = \frac{1}{8}\)
11) \(9x^2 + 30x + 25 < 0\), \((3x+5)^2 < 0\), ответ: \(\emptyset\)
12) \(2x^2 — 5x + 4 \leq 0\), дискриминант < 0, ответ: \(\emptyset\)

1) Решаем неравенство \(x^2 — 5x — 36 < 0\).
Вычисляем дискриминант: \(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169\).
Находим корни: \(x_1 = \frac{5 — 13}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{5 + 13}{2} = 9\).
Факторизуем: \((x + 4)(x — 9) < 0\).
Решение: \( -4 < x < 9 \).
Ответ: \(x \in (-4; 9)\).

2) Решаем неравенство \(x^2 + 7x — 30 \geq 0\).
Дискриминант: \(D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169\).
Корни: \(x_1 = \frac{-7 — 13}{2} = -10\), \(x_2 = \frac{-7 + 13}{2} = 3\).
Факторизация: \((x + 10)(x — 3) \geq 0\).
Решение: \(x \leq -10\) или \(x \geq 3\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -10] \cup [3; +\infty)\).

3) Решаем неравенство \(-x^2 + 4.6x — 2.4 < 0\).
Умножаем на \(-10\) (меняем знак неравенства): \(10x^2 — 46x + 24 > 0\).
Делим на 2: \(5x^2 — 23x + 12 > 0\).
Дискриминант: \(D = (-23)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 12 = 529 — 240 = 289\).
Корни: \(x_1 = \frac{23 — 17}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = 0.6\), \(x_2 = \frac{23 + 17}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4\).
Факторизация: \((x — 0.6)(x — 4) > 0\).
Решение: \(x < 0.6\) или \(x > 4\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 0.6) \cup (4; +\infty)\).

4) Решаем неравенство \(-3x^2 + 4x + 4 > 0\).
Умножаем на \(-1\) (меняем знак неравенства): \(3x^2 — 4x — 4 < 0\).
Дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64\).
Корни: \(x_1 = \frac{4 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2\).
Факторизация: \((x + \frac{2}{3})(x — 2) < 0\).
Решение: \(-\frac{2}{3} < x < 2\).
Ответ: \(x \in \left(-\frac{2}{3}; 2\right)\).

5) Решаем неравенство \(4x^2 — 16x \leq 0\).
Выносим общий множитель: \(x(4x — 16) \leq 0\), делим на 4: \(x(x — 4) \leq 0\).
Решение: \(0 \leq x \leq 4\).
Ответ: \(x \in [0; 4]\).

6) Решаем неравенство \(9x^2 — 25 > 0\).
Факторизация: \((3x — 5)(3x + 5) > 0\).
Решение: \(x < -\frac{5}{3}\) или \(x > \frac{5}{3}\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)\).

7) Решаем неравенство \(4x^2 — 12x + 9 > 0\).
Представляем как квадрат: \((2x — 3)^2 > 0\).
Решение: \(x \neq \frac{3}{2} = 1.5\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)\).

8) Решаем неравенство \(x^2 — 14x + 49 \geq 0\).
Представляем как квадрат: \((x — 7)^2 \geq 0\).
Решение: все \(x \in \mathbb{R}\).
Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).

9) Решаем неравенство \(5x^2 — 2x + 1 > 0\).
Дискриминант: \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 — 20 = -16 < 0\).
Парабола направлена вверх, значит выражение всегда положительно.
Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).

10) Решаем неравенство \(64x^2 — 16x + 1 \leq 0\).
Представляем как квадрат: \((8x — 1)^2 \leq 0\).
Решение: \(8x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{8}\).
Ответ: \(x = \left\{\frac{1}{8}\right\}\).

11) Решаем неравенство \(9x^2 + 30x + 25 < 0\).
Представляем как квадрат: \((3x + 5)^2 < 0\).
Квадрат любого числа не может быть меньше нуля, значит решений нет.
Ответ: \(x \in \emptyset\).

12) Решаем неравенство \(2x^2 — 5x + 4 \leq 0\).
Вычисляем дискриминант: \(D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 — 32 = -7 < 0\).
Парабола направлена вверх, но так как дискриминант отрицательный, выражение всегда положительно, неравенство не выполняется.
Ответ: \(x \in \emptyset\).