ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 115 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:
1) \((3x + 1)(x — 2) < 6\);
2) \((x + 3)^2 — 16 \geq (1 — 2x)^2\);
3) \(\frac{x + 3}{5} — \frac{x^2 — 4}{8} \leq 1\);
4) \(\frac{8x^2 — 11}{8} < 10 — \frac{87 — x^2}{6}\).

1) Раскроем скобки: \(3x^2 — 6x + x — 2 < 6\),
то есть \(3x^2 — 5x — 2 < 6\),
\(3x^2 — 5x — 8 < 0\).
Дискриминант: \(D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121\).
Корни: \(x_1 = \frac{5 — 11}{6} = -1\), \(x_2 = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\).
Неравенство выполняется при \(-1 < x < \frac{8}{3}\).

2) \((x+3)^2 — 16 \geq (1 — 2x)^2\),
раскроем скобки: \(x^2 + 6x + 9 — 16 \geq 1 — 4x + 4x^2\),
\(x^2 + 6x — 7 \geq 1 — 4x + 4x^2\),
\(x^2 + 6x — 7 — 1 + 4x — 4x^2 \geq 0\),
\(-3x^2 + 10x — 8 \geq 0\),
\(3x^2 — 10x + 8 \leq 0\).
Дискриминант: \(D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 — 96 = 4\).
Корни: \(x_1 = \frac{10 — 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\), \(x_2 = \frac{10 + 2}{6} = 2\).
Неравенство выполняется при \(\frac{4}{3} \leq x \leq 2\).

3) \(\frac{x+3}{5} — \frac{x^2 — 4}{8} \leq 1\),
приведём к общему знаменателю и упростим:
\( \frac{8(x+3)}{40} — \frac{5(x^2 — 4)}{40} \leq 1\),
\(\frac{8x + 24 — 5x^2 + 20}{40} \leq 1\),
\(\frac{-5x^2 + 8x + 44}{40} \leq 1\),
\(-5x^2 + 8x + 44 \leq 40\),
\(-5x^2 + 8x + 4 \leq 0\),
\(5x^2 — 8x — 4 \geq 0\).
Дискриминант: \(D = (-8)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144\).
Корни: \(x_1 = \frac{8 — 12}{10} = -\frac{2}{5}\), \(x_2 = \frac{8 + 12}{10} = 2\).
Неравенство выполняется при \(x \leq -\frac{2}{5}\) или \(x \geq 2\).

4) \(\frac{8x^2 — 11}{8} < 10 — \frac{87 — x^2}{6}\),
умножим обе части на 24 (общий знаменатель):
\(3(8x^2 — 11) < 240 — 4(87 — x^2)\),
\(24x^2 — 33 < 240 — 348 + 4x^2\),
\(24x^2 — 33 < -108 + 4x^2\),
\(24x^2 — 33 — 4x^2 + 108 < 0\),
\(20x^2 + 75 < 0\).
Это невозможно, так как \(20x^2 + 75 > 0\) для всех \(x\).
Ответ: \(\emptyset\).

1) Раскроем скобки в выражении \((3x + 1)(x — 2) < 6\):
\(3x \cdot x + 3x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) < 6\),
то есть \(3x^2 — 6x + x — 2 < 6\),
соберём подобные: \(3x^2 — 5x — 2 < 6\),
перенесём 6 в левую часть: \(3x^2 — 5x — 8 < 0\).
Найдём дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121\).
Корни квадратного уравнения:
\(x_1 = \frac{5 — 11}{6} = -1\),
\(x_2 = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\).
Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство \(< 0\) верно между корнями.
Ответ: \(-1 < x < \frac{8}{3}\).

2) Начнём с неравенства \((x + 3)^2 — 16 \geq (1 — 2x)^2\).
Раскроем скобки:
\(x^2 + 6x + 9 — 16 \geq 1 — 4x + 4x^2\),
упростим: \(x^2 + 6x — 7 \geq 1 — 4x + 4x^2\),
перенесём все в левую часть:
\(x^2 + 6x — 7 — 1 + 4x — 4x^2 \geq 0\),
соберём подобные: \(-3x^2 + 10x — 8 \geq 0\),
умножим на \(-1\) и поменяем знак неравенства:
\(3x^2 — 10x + 8 \leq 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 — 96 = 4\).
Корни:
\(x_1 = \frac{10 — 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\),
\(x_2 = \frac{10 + 2}{6} = 2\).
Парабола направлена вверх, неравенство \(\leq 0\) верно между корнями.
Ответ: \(\frac{4}{3} \leq x \leq 2\).

3) Рассмотрим неравенство \(\frac{x + 3}{5} — \frac{x^2 — 4}{8} \leq 1\).
Приведём к общему знаменателю 40:
\(\frac{8(x+3)}{40} — \frac{5(x^2 — 4)}{40} \leq 1\),
раскроем скобки в числителях:
\(\frac{8x + 24 — 5x^2 + 20}{40} \leq 1\),
объединим:
\(\frac{-5x^2 + 8x + 44}{40} \leq 1\),
умножим обе части на 40:
\(-5x^2 + 8x + 44 \leq 40\),
перенесём 40 в левую часть:
\(-5x^2 + 8x + 4 \leq 0\),
умножим на \(-1\) и поменяем знак:
\(5x^2 — 8x — 4 \geq 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144\).
Корни:
\(x_1 = \frac{8 — 12}{10} = -\frac{2}{5}\),
\(x_2 = \frac{8 + 12}{10} = 2\).
Парабола направлена вверх, неравенство \(\geq 0\) верно вне интервала между корнями.
Ответ: \(x \leq -\frac{2}{5}\) или \(x \geq 2\).

4) Неравенство \(\frac{8x^2 — 11}{8} < 10 — \frac{87 — x^2}{6}\).
Домножим обе части на общий знаменатель 24:
\(3(8x^2 — 11) < 240 — 4(87 — x^2)\),
раскроем скобки:
\(24x^2 — 33 < 240 — 348 + 4x^2\),
упростим правую часть:
\(24x^2 — 33 < -108 + 4x^2\),
перенесём всё в левую часть:
\(24x^2 — 33 — 4x^2 + 108 < 0\),
\(20x^2 + 75 < 0\).
Так как \(20x^2 + 75 > 0\) для всех \(x\), неравенство не имеет решений.
Ответ: \(\emptyset\).