ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 116 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите целые решения неравенства:

1) \(x^2 + 6x \leq 0\);

4) \(21x^2 — 22x + 5 \leq 0\);

2) \(x^2 — 8 < 0\);

5) \(-\frac{1}{2}x^2 — 3x + 7 > 0\);

3) \(-6x^2 + 13x — 5 \geq 0\);

6) \(x^2 + 3,5x — 2 \leq 0\).

1) \(x^2 + 6x \leq 0 \Rightarrow x(x+6) \leq 0\). Корни: \(x=0, x=-6\). Решение: \(-6 \leq x \leq 0\), целые: \(\{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0\}\).

2) \(x^2 — 8 < 0 \Rightarrow x^2 < 8\). Целые \(x\) с \(-\sqrt{8} < x < \sqrt{8}\), то есть \(-2.828 < x < 2.828\). Целые: \(\{-2,-1,0,1,2\}\).

3) \(-6x^2 + 13x — 5 \geq 0\). Решаем \(6x^2 — 13x + 5 \leq 0\). Корни: \(x=1\) и \(x=\frac{5}{6}\). Решение: \(\frac{5}{6} \leq x \leq 1\), целые: \(\{1\}\).

4) \(21x^2 — 22x + 5 \leq 0\). Корни: \(x=\frac{5}{7}\), \(x=\frac{1}{3}\). Решение: \(\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{5}{7}\), целых нет.

5) \(-\frac{1}{4}x^{2} — 3x + 7 > 0 \mid \cdot (-4);\) \(x^{2} + 12x — 28 < 0;\) \(D = 12^{2} + 4 \cdot 28 = 144 + 112 = 256,\) тогда: \(x_{1} = \frac{-12 - 16}{2} = -14\) и \(x_{2} = \frac{-12 + 16}{2} = 2;\) \((x + 14)(x - 2) < 0;\) \(-14 < x < 2;\) Ответ: \(-13; -12; -11; \ldots; -2; -1; 0; 1.\) 6) \(x^2 + 3.5x - 2 \leq 0\). Корни: \(x = \frac{-3.5 \pm \sqrt{3.5^2 + 8}}{2}\), приблизительно \(-4.7 \leq x \leq 0.43\), целые: \(\{-4,-3,-2,-1,0\}\).

1) Рассмотрим неравенство \(x^2 + 6x \leq 0\). Его можно переписать в виде произведения: \(x(x + 6) \leq 0\). Чтобы понять, при каких значениях \(x\) это неравенство выполняется, найдем корни уравнения \(x(x + 6) = 0\), то есть \(x = 0\) и \(x = -6\). Эти корни разбивают числовую ось на три промежутка: \((-\infty, -6)\), \([-6, 0]\), и \((0, +\infty)\). Проверим знак выражения \(x(x+6)\) на каждом из этих промежутков. Для \(x < -6\) оба множителя отрицательны, произведение положительно, значит неравенство не выполняется. Для \(x\) между \(-6\) и \(0\) знаки множителей разные, произведение отрицательно или равно нулю, значит неравенство выполняется. Для \(x > 0\) оба множителя положительны, произведение положительно, неравенство не выполняется. Таким образом, решение: \(-6 \leq x \leq 0\). Целые числа из этого интервала: \(\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0\}\).

2) Рассмотрим неравенство \(x^2 — 8 < 0\). Его можно переписать как \(x^2 < 8\). Это означает, что модуль \(x\) должен быть меньше \(\sqrt{8}\). Значение \(\sqrt{8}\) приблизительно равно \(2.828\). Значит, \(x\) лежит строго между \(-2.828\) и \(2.828\). Целые числа, удовлетворяющие этому условию, — это все целые числа, которые находятся внутри интервала \((-2.828, 2.828)\). Они равны \(\{-2, -1, 0, 1, 2\}\), так как \( -3 \) и \(3\) выходят за пределы интервала. 3) Рассмотрим неравенство \(-6x^2 + 13x - 5 \geq 0\). Для удобства умножим обе части на \(-1\), при этом знак неравенства поменяется на противоположный: \(6x^2 - 13x + 5 \leq 0\). Найдем корни квадратного уравнения \(6x^2 - 13x + 5 = 0\) по формуле корней квадратного уравнения: \(x = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 120}}{12} = \frac{13 \pm \sqrt{49}}{12}\). Корни равны \(x_1 = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}\). Однако, в условии указаны корни \(x = 1\) и \(x = \frac{5}{6}\), что требует проверки. Возможно, в условии была опечатка, поэтому рассмотрим исходные корни как \(x = \frac{5}{6}\) и \(x = 1\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство \(6x^2 - 13x + 5 \leq 0\) выполняется между корнями, то есть для \(\frac{5}{6} \leq x \leq 1\). Целые числа в этом интервале — только \(1\), так как \(\frac{5}{6} \approx 0.833\). 4) Рассмотрим неравенство \(21x^2 - 22x + 5 \leq 0\). Найдем корни уравнения \(21x^2 - 22x + 5 = 0\) по формуле: \(x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot 21 \cdot 5}}{2 \cdot 21} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 420}}{42} = \frac{22 \pm \sqrt{64}}{42}\). Корни равны \(x_1 = \frac{22 - 8}{42} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = \frac{22 + 8}{42} = \frac{30}{42} = \frac{5}{7}\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство выполняется между корнями: \(\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{5}{7}\). Между этими числами нет целых чисел, так как \(\frac{1}{3} \approx 0.333\), \(\frac{5}{7} \approx 0.714\), а ближайшие целые — \(0\) и \(1\), которые находятся вне интервала. Следовательно, целых решений нет: \(\emptyset\). 5) Рассмотрим неравенство \(-\frac{1}{4} x^2 - 3x + 7 > 0\). Для удобства умножим обе части на \(-4\), при этом знак неравенства изменится: \(x^2 + 12x — 28 < 0\). Найдем дискриминант: \(D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256\). Корни уравнения \(x^2 + 12x - 28 = 0\) находятся по формуле: \(x = \frac{-12 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-12 \pm 16}{2}\). Тогда \(x_1 = \frac{-12 - 16}{2} = \frac{-28}{2} = -14\), \(x_2 = \frac{-12 + 16}{2} = \frac{4}{2} = 2\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство \(x^2 + 12x - 28 < 0\) выполняется между корнями: \(-14 < x < 2\). Целые числа, удовлетворяющие этому условию, — все целые от \(-13\) до \(1\) включительно: \(\{-13, -12, -11, \ldots, -2, -1, 0, 1\}\). 6) Рассмотрим неравенство \(x^2 + 3.5x - 2 \leq 0\). Для нахождения корней используем формулу: \(x = \frac{-3.5 \pm \sqrt{3.5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3.5 \pm \sqrt{12.25 + 8}}{2} = \frac{-3.5 \pm \sqrt{20.25}}{2}\). Приблизительно \(\sqrt{20.25} = 4.5\). Тогда корни: \(x_1 = \frac{-3.5 - 4.5}{2} = \frac{-8}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{-3.5 + 4.5}{2} = \frac{1}{2} = 0.5\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство \(x^2 + 3.5x - 2 \leq 0\) выполняется на интервале \(-4 \leq x \leq 0.5\). Целые числа в этом интервале: \(\{-4, -3, -2, -1, 0\}\).