ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 116 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите целые решения неравенства:

1) \(x^2 + 6x \leq 0\);

4) \(21x^2 — 22x + 5 \leq 0\);

2) \(x^2 — 8 < 0\);

5) \(-\frac{1}{2}x^2 — 3x + 7 > 0\);

3) \(-6x^2 + 13x — 5 \geq 0\);

6) \(x^2 + 3,5x — 2 \leq 0\).

1) \(x^2 + 6x \leq 0 \Rightarrow x(x+6) \leq 0\). Корни: \(x=0, x=-6\). Решение: \(-6 \leq x \leq 0\), целые: \(\{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0\}\).

2) \(x^2 — 8 < 0 \Rightarrow x^2 < 8\). Целые \(x\) с \(-\sqrt{8} < x < \sqrt{8}\), то есть \(-2.828 < x < 2.828\). Целые: \(\{-2,-1,0,1,2\}\).

3) \(-6x^2 + 13x — 5 \geq 0\). Решаем \(6x^2 — 13x + 5 \leq 0\). Корни: \(x=1\) и \(x=\frac{5}{6}\). Решение: \(\frac{5}{6} \leq x \leq 1\), целые: \(\{1\}\).

4) \(21x^2 — 22x + 5 \leq 0\). Корни: \(x=\frac{5}{7}\), \(x=\frac{1}{3}\). Решение: \(\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{5}{7}\), целых нет.

5) \(-\frac{1}{2}x^2 — 3x + 7 > 0\). Умножаем на \(-2\): \(x^2 + 6x — 14 < 0\). Корни: \(x=-3 \pm \sqrt{23}\). Приблизительно \(-7.8 < x < 1.8\), целые: \(\{-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1\}\).

6) \(x^2 + 3.5x — 2 \leq 0\). Корни: \(x = \frac{-3.5 \pm \sqrt{3.5^2 + 8}}{2}\), приблизительно \(-4.7 \leq x \leq 0.43\), целые: \(\{-4,-3,-2,-1,0\}\).

1) Рассмотрим неравенство \(x^2 + 6x \leq 0\). Вынесем общий множитель: \(x(x+6) \leq 0\). Корни уравнения \(x=0\) и \(x=-6\). Знак произведения меняется на интервалах, проверяем интервалы: при \(x < -6\) произведение положительно, при \(-6 \leq x \leq 0\) произведение неположительно, при \(x > 0\) произведение положительно. Значит решение: \(-6 \leq x \leq 0\). Целые решения: \(-6,-5,-4,-3,-2,-1,0\).

2) Неравенство \(x^2 — 8 < 0\) эквивалентно \(x^2 < 8\). Корень: \(x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \approx \pm 2.828\). Целые числа, удовлетворяющие условию: \(-2,-1,0,1,2\). 3) Рассмотрим \(-6x^2 + 13x — 5 \geq 0\). Домножим на \(-1\) и поменяем знак: \(6x^2 — 13x + 5 \leq 0\). Найдем корни квадратного уравнения: дискриминант \(D = 13^2 — 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 — 120 = 49\). Корни: \(x = \frac{13 \pm 7}{12}\), то есть \(x_1 = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}\), \(x_2 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Парабола направлена вверх, значит решение: \(\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{3}\). Целые решения: \(1\). 4) Неравенство \(21x^2 — 22x + 5 \leq 0\). Найдем корни: дискриминант \(D = (-22)^2 — 4 \cdot 21 \cdot 5 = 484 — 420 = 64\). Корни: \(x = \frac{22 \pm 8}{42}\), то есть \(x_1 = \frac{30}{42} = \frac{5}{7}\), \(x_2 = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}\). Парабола направлена вверх, решение: \(\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{5}{7}\). Целых решений нет. 5) Неравенство \(-\frac{1}{2}x^2 — 3x + 7 > 0\). Домножим на \(-2\) и поменяем знак: \(x^2 + 6x — 14 < 0\). Найдем корни: дискриминант \(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 36 + 56 = 92\). Корни: \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{92}}{2} = -3 \pm \sqrt{23}\). Приблизительно это \(-3 — 4.795 = -7.795\) и \(-3 + 4.795 = 1.795\). Решение: \(-7.795 < x < 1.795\). Целые: \(-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1\).

6) Неравенство \(x^2 + 3.5x — 2 \leq 0\). Найдем корни: дискриминант \(D = 3.5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 12.25 + 8 = 20.25\). Корни: \(x = \frac{-3.5 \pm 4.5}{2}\), то есть \(x_1 = \frac{1}{2} = 0.5\), \(x_2 = \frac{-8}{2} = -4\). Парабола направлена вверх, решение: \(-4 \leq x \leq 0.5\). Целые: \(-4,-3,-2,-1,0\).