ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 117 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \(y = \sqrt{x^2 + 3x — 40}\);

2) \(y = \frac{x + 2}{\sqrt{3x — 12x^2}}\);

3) \(y = \sqrt{x^2 — 4x — 21} — \frac{6}{x^2 — 64}\);

4) \(y = \frac{x — 8}{\sqrt{5 + 19x — 4x^2}} — \frac{x — 4}{3x^2 — x — 4}\).

1) \(x^2 + 3x — 40 \geq 0\).
Решаем неравенство: \((x+8)(x-5) \geq 0\).
Область определения: \(x \in (-\infty, -8] \cup [5, +\infty)\).

2) Подкоренное выражение \(3x — 12x^2 > 0\) (строго больше 0, так как знаменатель).
Факторизуем: \(3x(1 — 4x) > 0\).
Решаем: \(x \in (0, \frac{1}{4})\).

3)
\(\sqrt{x^2 — 4x — 21}\) требует \(x^2 — 4x — 21 \geq 0\).
Факторизуем: \((x — 7)(x + 3) \geq 0\).
Решение: \(x \in (-\infty, -3] \cup [7, +\infty)\).
Знаменатель \(\neq 0\): \(x^2 — 64 \neq 0\), то есть \(x \neq \pm 8\).
Область определения: \( (-\infty, -8) \cup (-8, -3] \cup [7, 8) \cup (8, +\infty)\).

4)
Подкоренное выражение в знаменателе: \(5 + 19x — 4x^2 > 0\).
Перепишем: \(-4x^2 + 19x + 5 > 0\).
Корни: \(x = -\frac{1}{4}\), \(x = 5\).
Решение: \(x \in \left(-\frac{1}{4}, 5\right)\).
Второй знаменатель: \(3x^2 — x — 4 \neq 0\).
Корни: \(x = -1\), \(x = \frac{4}{3}\).
Исключаем эти точки.
Область определения: \(\left(-\frac{1}{4}, 5\right) \setminus \{-1, \frac{4}{3}\}\).

1) Функция задана как \(y = \sqrt{x^2 + 3x — 40}\). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x^2 + 3x — 40 \geq 0\).
Решаем квадратное неравенство. Найдём корни уравнения \(x^2 + 3x — 40 = 0\).
Дискриминант: \(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169\).
Корни: \(x_1 = \frac{-3 — 13}{2} = -8\), \(x_2 = \frac{-3 + 13}{2} = 5\).
Парабола направлена вверх, значит неравенство выполняется при \(x \leq -8\) или \(x \geq 5\).
Область определения: \(x \in (-\infty, -8] \cup [5, +\infty)\).

2) Функция \(y = \frac{x + 2}{\sqrt{3x — 12x^2}}\) требует, чтобы знаменатель был определён и не равен нулю. Значит, подкоренное выражение строго положительно: \(3x — 12x^2 > 0\).
Вынесем общий множитель: \(3x(1 — 4x) > 0\).
Рассмотрим знаки множителей:
— \(3x > 0 \Rightarrow x > 0\),
— \(1 — 4x > 0 \Rightarrow x < \frac{1}{4}\).
Пересечение: \(0 < x < \frac{1}{4}\).
Область определения: \(x \in (0, \frac{1}{4})\).

3) Функция \(y = \sqrt{x^2 — 4x — 21} — \frac{6}{x^2 — 64}\).
Первое условие: подкоренное выражение неотрицательно: \(x^2 — 4x — 21 \geq 0\).
Решаем: \(x^2 — 4x — 21 = (x — 7)(x + 3) \geq 0\).
Парабола вверх, значит \(x \leq -3\) или \(x \geq 7\).
Второе условие: знаменатель не равен нулю: \(x^2 — 64 \neq 0\), то есть \(x \neq \pm 8\).
Область определения: \( (-\infty, -8) \cup (-8, -3] \cup [7, 8) \cup (8, +\infty)\).

4) Функция \(y = \frac{x — 8}{\sqrt{5 + 19x — 4x^2}} — \frac{x — 4}{3x^2 — x — 4}\).
Подкоренное выражение под корнем в знаменателе: \(5 + 19x — 4x^2 > 0\).
Перепишем: \(-4x^2 + 19x + 5 > 0\).
Найдём корни:
Дискриминант \(D = 19^2 — 4 \cdot (-4) \cdot 5 = 361 + 80 = 441\).
Корни: \(x_1 = \frac{-19 — 21}{-8} = 5\), \(x_2 = \frac{-19 + 21}{-8} = -\frac{1}{4}\).
Парабола вниз, значит неравенство выполняется на интервале \(\left(-\frac{1}{4}, 5\right)\).
Второй знаменатель: \(3x^2 — x — 4 \neq 0\).
Решаем уравнение: \(3x^2 — x — 4 = 0\).
Дискриминант \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49\).
Корни: \(x = \frac{1 \pm 7}{6}\), то есть \(x = -1\) и \(x = \frac{4}{3}\).
Исключаем эти точки из области определения.
Область определения: \(\left(-\frac{1}{4}, 5\right) \setminus \{-1, \frac{4}{3}\}\).